Коиндуцированный модуль

Описание

Пусть $L$ — алгебра Ли, $H$ — подалгебра в $L$ , $W$ — произвольный левый $H$ -модуль. $\mathcal{U}(L)$ и $\mathcal{U}(H)$ — универсальные обертывающие алгебры для $L$ и $H$ соответственно.

Определение 1. Левый $\mathcal{U}(L)$ -модуль $V=\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W)$ называется $L$ -модулем, коиндуцированным $H$ -модулем $W$ ¹⁾. Структура $\mathcal{U}(L)$ -модуля задается по правилу: $(u\cdot f)(x)=f(xu)$ для $u,x\in \mathcal{U}(L)$ и $f\in V$ . Этот модуль обозначается символом $\textrm{coind}(W,L)$ .

Сюръективное отображение $f\mapsto f(1)$ из $\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W)$ в $W$ называется каноническим.

Предложение 1. Для коиндуцированного модуля $\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W^*)$ и индуцированного модуля $\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W$ имеет место изоморфизм $\mathcal{U}(L)$ -модулей $\textrm{Hom}_{\mathcal{U}(H)}(\mathcal{U}(L),W^*)\cong(\mathcal{U}(L)\otimes_{\mathcal{U}(H)}W)^*$ .