Система Титса

проверено

Двойной смежный класс

Определение 1. Пусть $G$ — группа, $B$ — ее подгруппа. Тогда прямое произведение групп $B\times B$ действует на $G$ по правилу $(b_1,b_2)\cdot g=b_1gb_2^{-1}$ , где $b_1,b_2\in B$ и $g\in G$ . Множество $BgB=\{b_1gb_2\vert b_1,b_2\in B\}$ называется двойным смежным классом¹⁾ $G$ по $B$ .

Множества $BgB$ образуют разбиение группы $G$ . Соответствующее фактормножество обозначается символом $B\backslash G/B$ .

Определение системы Титса

Определение 2. Пусть $G$ — группа, $B$ и $N$ — ее подгруппы и $S$ — подмножество в $N/(B\cap N)$ . Системой Титса²⁾ называется четверка $(G,B,N,S)$ , удовлетворяющая следующим аксиомам:

множество $B\cup N$ порождает $G$ и $B\cap N$ является нормальной подгруппой группы $N$ ;
множество $S$ порождает группу $W=N/(B\cap N)$ и состоит из элементов порядка 2;
$sBw\subset BwB\cup BswB$ для $s\in S$ и $w\in W$ ;
$sBs\not\subset B$ для любого $s\in S$ .

Пример 1. Пусть $F$ — поле. Рассмотрим векторное пространство $F^n$ со стандартным базисом $\{e_i\}$ . Пусть группа $G$ равна $\textrm{GL}_n(F)$ , $B$ — подгруппа в $G$ , состоящая из матриц с нулями ниже главной диагонали, $N$ — подгруппа в $G$ , состоящая из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке ровно один элемент отличен от нуля. Группа $W=N/(B\cap N)$ отождествляется с симметрической группой $S_n$ . Обозначим через $s_j$ элемент из $W$ , соответствующий транспозиции $(j\ j+1)$ . Пусть $S=\{s_j\}$ . Тогда четверка $(G,B,N,S)$ будет системой Титса.

Разложение на двойные классы

Теорема 1. Имеет место равенство $G=BWB$ . Соответствие $w\mapsto BwB$ является биективным отображением $W$ на множество $B\backslash G/B$ двойных смежных классов $G$ по $B$ .