Ограниченная универсальная обертывающая алгебра

Определение

Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли над полем $F$ .

Определение 1. Пара $(u(L),i)$ , состоящая из ассоциативной алгебры с единицей и ограниченного гомоморфизма $i:L\rightarrow u(L)_L$ , где $u(L)_L$ — алгебра Ли ассоциативной алгебры $u(L)$ , называется ограниченной универсальной обертывающей алгеброй¹⁾, если для произвольной ассоциативной алгебры $A$ с единицей и любого ограниченного гомоморфизма $\varphi:L\rightarrow A_L$ существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр $\overline{\varphi}:u(L)\rightarrow A$ такой, что следующая диаграмма коммутативна
$\begin{diagram}\node[2]{L}\arrow[2]{e,t}{i}\arrow[2]{se,b}{\varphi}\node[2]{u(L)_L}\arrow[2]{s,r}{\overline{\varphi}}\\ \\ \node[4]{A_L.}\end{diagram}$

Замечание. Ограниченная универсальная обертывающая алгебра является универсальным объектом в категорном смысле, и определена с точностью до изоморфизма единственным образом.

Теорема 1.

Ограниченная универсальная обертывающая алгебра существует.
Пусть $\{e_i\}_{i\in I}$ — базис в $L$ . Тогда множество $\{e_{i_1}^{s_1}\ldots e_{i_n}^{s_n}\vert i_1<\ldots<i_n, 0\leqslant s_j\leqslant p-1,1\leqslant j\leqslant n\}$ является базисом $u(L)$ . Отображение $i$ — это вложение $L$ в $u(L)_L$ . Если $\textrm{dim}_F(L)=n$ , то размерность ограниченной универсальной обертывающей равна $p^n$ .