Содержание

Ограниченная алгебра Ли

Ограниченная алгебра Ли

Пусть $L$ — алгебра Ли над полем $F$ характеристики $p$ .

Ограниченная алгебра Ли

Определение 1. Отображение $[p]\colon L\rightarrow L$ , которое каждому элементу $x\in L$ ставит в соответствие элемент $x^{[p]}$ называется p-отображением¹⁾, если

$\textrm{ad}~x^{[p]}=(\textrm{ad}~x)^p$ для всех $x\in L$ ;
$(\alpha x)^{[p]}=\alpha^px^{[p]}$ для всех $\alpha\in F$ и $x\in L$ ;
$(x+y)^{[p]}=x^{[p]}+y^{[p]}+\sum_{i=1}^{p-1}s_i(x,y)$ для всех $x,y\in L$ , где элементы $s_i(x,y)$ находятся из соотношения $(\textrm{ad}(x\otimes T+y\otimes 1))^{p-1}x\otimes 1=\sum_{i=1}^{p-1}is_i(x,y)\otimes T^{i-1}$ в кольце многочленов $L\otimes_FF[T]$ с коэффициентами в $L$ .

Замечание. Элементы $s_i(x,y)$ представляют собой произведения элементов $x,y\in L$ длины $p$ .

Определение 2. Пара $(L,[p])$ , состоящая из алгебры Ли $L$ и p-отображения $[p]$ , называется ограниченной алгеброй Ли²⁾.

Пример 1. Пусть $A_L$ — алгебра Ли ассоциативной алгебры. Тогда отображение $x\mapsto x^p=x\cdot\ldots\cdot x$ — $p$ -кратное произведение $x$ — является p-отображением.

Пример 2. Для алгебры $A$ над полем $F$ алгебра Ли дифференцирований $\textrm{Der}~A$ вместе с операцией возведения в степень $p$ :

$D\mapsto D^p$ для любого $D\in\textrm{Der}~A$ ,

является ограниченной алгеброй Ли.

Пример 3. Пусть $L$ — двумерная алгебра Ли с базисом $\{h,x\}$ , причем $[h,x]=x$ . Тогда единственное p-отображение на $L$ определяется формулой $(\alpha h+\beta x)^{[p]}=\alpha^ph+\alpha^{p-1}\beta x$ .

p-подалгебры и p-идеалы

Определение 3. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли. Подалгебра $H\subset L$ называется p-подалгеброй³⁾, если $x^{[p]}\in H$ для всех $x\in H$ .

Определение 4. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли. Идеал $I\subset L$ называется p-идеалом⁴⁾, если $x^{[p]}\in I$ для всех $x\in I$ .

Предложение 1. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли и $I$ — p-идеал в $L$ . Тогда на факторалгебре $L/I$ корректно определено p-отображение:

$(x+I)^{[p]}=x^{[p]}+I$ .

Определение 5. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли и $S\subset L$ — произвольное подмножество. Тогда множество

$S_p=\{H\vert H\supset S, H$ — p-подалгебра $\}$ —

пересечение всех p-подалгебр, содержащих $S$ — называется p-подалгеброй, порожденной $S$ в $L$ .

Определение 6. Пусть $I$ — p-идеал ограниченной алгебры Ли $(L,[p])$ . Тогда $I$ называется p-нильпотентным⁵⁾, если $I^{[p]^n}=\{x^{[p]^n}\vert x\in I\}=0$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$ . ⁶⁾

Предложение 2. Пусть $I$ — p-идеал ограниченной алгебры Ли $(L, [p])$ . Тогда $L$ — p-нильпотентна тогда и только тогда, когда факторалгебра⁷⁾ $L/I$ и идеал $I$ p-нильпотентны.

Предложение 3. Пусть $(L,[p])$ — конечномерная ограниченная алгебра Ли. Тогда существует единственный p-идеал $\textrm{rad}_p(L)$ , обладающий свойствами:

$\textrm{rad}_p(L)$ — p-нильпотентный идеал;
$\textrm{rad}_p(L)$ максимальный. То есть если p-идеал $I\subset L$ p-нильпотентен, то $I\subset\textrm{rad}_p(L)$ .

Определение 7. Идеал $\textrm{rad}_p(L)$ называется p-радикалом⁸⁾ алгебры $L$ .

Пример 4. Пусть $L$ — двумерная алгебра Ли с базисом $\{h,x\}$ , где $[h,x]=x$ . Все идеалы $L$ : $L,I=\langle x\rangle_F,(0)$ — являются p-идеалами. Идеал $I$ p-нильпотентен, и $\textrm{rad}_p(L)=I$ .

Гомоморфизмы

Определение 8. Пусть $(L_1,[p]_1)$ и $(L_2,[p]_2)$ — ограниченные алгебры Ли над полем $F$ . Гомоморфизм алгебр Ли $\varphi:L_1\rightarrow L_2$ называется ограниченным⁹⁾, или p-гомоморфизмом¹⁰⁾, если $\varphi(x^{[p]_1})=\varphi(x)^{[p]_2}$ для всех $x\in L_1$ .

Определение 9. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли и $\rho\colon L\rightarrow\mathfrak{gl}(V)$ — ее представление. Тогда $\rho$ называется ограниченным представлением¹¹⁾, если $\rho(x^{[p]})=\rho(x)^p$ для всех $x\in L$ .¹²⁾

p-полулинейное отображение

Определение 10. Отображение $\varphi:L\rightarrow L$ называется p-полулинейным¹³⁾, если

$\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$ для всех $x,y\in L$ ;
$\varphi(\alpha x)=\alpha^p\varphi(x)$ для $\alpha\in F$ и $x\in L$ .

Предложение 4. Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли, $H\subset L$ — подалгебра и $[p]_1\colon H\rightarrow H$ — некоторое отображение. Тогда следующие утверждения эквивалентны

$[p]_1$ — p-отображение на $H$ ;
существует p-полулинейное отображение $\varphi:H\rightarrow C_L(H)$ такое, что $[p]_1=[p]+\varphi$ .

Пример 5. Пусть $L$ — абелева алгебра Ли. Тогда $L$ ограниченная в том и только том случае, когда на $L$ определено p-полулинейное отображение.

Ограничиваемые алгебры Ли

Определение 11. Алгебра Ли $L$ называется ограничиваемой¹⁴⁾, если $\textrm{ad}L$ является p-подалгеброй в $\textrm{Der}L$ — алгебре дифференцирований алгебры $L$ , то есть $(\textrm{ad}x)^p\in\textrm{ad}L$ для $x\in L$ .

Теорема 1. (Джекобсон) Пусть $(L,[p])$ — ограниченная алгебра Ли с базисом $\{e_i\}_{i\in I}$ . Пусть, кроме того, существуют элементы $y_i\in L$ такие, что $(\textrm{ad}e_i)^p=\textrm{ad}y_i$ . Тогда на $L$ существует единственное p-отображение $[p]:L\rightarrow L$ , удовлетворяющее условию $e_j^{[p]}=y_j$ .

Замечание. Теорема Джекобсона позволяет дать эквивалентное определение ограничиваемой алгебры Ли как алгебры, на которой можно определить p-отображение.

Пример 6. Если $L$ — нильпотентная алгебра Ли размерность которой не превосходит $p+1$ , то она является ограничиваемой, так как $(\textrm{ad}x)^p=0$ .

Предложение 5. Пусть $\varphi\colon L_1\rightarrow L_2$ — сюръективный гомоморфизм алгебр Ли. Тогда если $L_1$ ограничиваемая, то $L_2$ также ограничиваемая.

Литература

Джекобсон Н. «Алгебры Ли», Мир, 1964.
Strade H., Farnsteiner R. «Modular Lie Algebras and their Representations», Marcel Dekker, 1988.

алгебры ли, алгебра ли, ограниченная алгебра ли, ограниченный гомоморфизм, ограничиваемая алгебра ли, p-гомоморфизм, p-идеал, p-нильпотентный идеал, p-отображение, p-подалгебра, p-полулинейное отображение, p-радикал

¹⁾

p-mapping

²⁾

restricted Lie algebra

³⁾

p-subalgebra

⁴⁾

p-ideal

⁵⁾

p-nilpotent

⁶⁾

$x^{[p]^n}$ обозначает $n$ -ю итерацию отображения $[p]$ .

⁷⁾

Она также ограниченная - см. Предложение 1.

⁸⁾

p-radical

⁹⁾

restricted homomorphism

¹⁰⁾

p-homomorphism

¹¹⁾

restricted presentation

¹²⁾

Вспомним, что полная линейная алгебра $\mathfrak{gl}(V)$ — ограниченная алгебра Ли с p-отображением «возведение в степень $p$ » (см. Пример 1). Таким образом, $\rho$ — p-отображение в смысле определения 8.

¹³⁾

p-semilinear

¹⁴⁾

restrictable

glossary/algebra/lie/restricted.txt · Последние изменения: 15.04.2014 18:00:36 — Ладилова Анна

Наверх