В этой главе рассматриваются алгебры фиксированной размерности над полем, а в данном параграфе дается важное определение алгебраического множества структурных констант для -мерных ассоциативных алгебр. Это множество будет служить параметрическим пространством в теории деформации, и после его определения мы будем считать, что деформируемые объекты являются не просто алгебрами, а алгебрами с фиксированным базисом (что существенно). Точкам параметрического пространства, очевидно, недостает взаимно однозначного соответствия с классами изоморфизма алгебр заданной размерности, но полная линейная группа той же размерности действует на параметрическом пространстве, отождествляя точки, соответствующие изоморфным алгебрам. При рассмотрении ограниченной теории деформаций в качестве параметрического пространства может быть желательно взять подпространство пространства всех структурных констант, на котором в дальнейшем могут быть сделаны определенные отождествления.

Пусть — простое поле фиксированной характеристики, — универсальная область над в смысле Вейля [11], и — множество объектов, занумерованных множеством мощности . Тогда набор формальных конечных линейных комбинаций элементов с коэффициентами из образует векторное пространство над . Пусть — алгебра размерности над полем (где по соглашениям Вейля является подполем , а алгебраически замкнуто и имеет бесконечную степень трансцендентности над ). Тогда существуют линейные изоморфизмы из на , т.е. линейные отображения такие, что каждый элемент единственным образом представим в виде . Пусть — множество всех пар , где является алгеброй фиксированной размерности над некоторым полем , а — указанный изоморфизм. Будем обозначать через и , соответственно, векторное пространство и алгебру . (Если является векторным пространством, определенным над полем , и — расширение , то, как правило, мы будем обозначать через пространство , и аналогично для алгебр.) Тогда имеет естественное продолжение до линейного изоморфизма на , которое сохранит обозначение . Мы считаем два элемента из эквивалентными, если является изоморфизмом алгебр и . (Вместо мы могли использовать любое подполе , над которым определены и , и .) Точками параметрического пространства являются классы эквивалентности по этому отношению.

Теперь очевидно, что в паре отображение служит для выбора базиса , а именно . Более того, если принадлежат индексному множеству , то, так как определена над , существуют «структурные константы» в (относительно базиса ) такие, что . Отсюда следует, что эквивалентна тогда и только тогда, когда структурные константы из относительно базиса совпадают со структурными константами относительно . Поэтому ясно, что параметрическое пространство в точности совпадает со множеством структурных констант. Более того, если эквивалентна , и задана как алгебра над полем , то и , и содержат поле , порожденное над простым полем общим множеством структурных констант . Будем говорить, что точка из , соответствующая классу эквивалентности , имеет в качестве минимального поля определения и что она определена, или рациональна, над любым расширением . Будем обозначать минимальное поле определения через , и если — любое подполе , то композит и будет обозначаться через . Существует алгебра в классе , определенная над любым расширением поля , а именно, та, которая получена определением на умножения . Фиксируя поле , полагаем, что обозначает множество точек , рациональных над . Каждой точке естественным образом соответствует единственный класс изоморфности -мерных алгебр над , а именно, для данной точки пусть — элемент из класса эквивалентности, который представляет ее так, что является алгеброй над . Тогда полностью определена с точностью до изоморфизма. В частности, если и является минимальным полем определения для , то соответствует единственный класс изоморфности алгебр над . Этот класс содержит алгебру, полученную посредством определения на умножения, структурные константы которого являются структурными константами, соответствующими точке . Последняя алгебра будет обозначаться через .

Для данного поля пусть обозначает группу всех линейных автоморфизмов . Эта группа действует на следующим образом. Пусть — элемент . Если точка из является классом эквивалентности пары , где — это алгебра над , положим , пусть продолжено до линейного изоморфизма на , и продолжено до линейного автоморфизма . Тогда также линейный изоморфизм на , и мы определяем как класс эквивалентности . Очевидно, что он не зависит от выбора из класса эквивалентности . Более того, отображает на себя. Если , то группа изотропии точки в (т.е. группа всех в таких, что ) может быть отождествлена с группой автоморфизмов произвольной алгебры в классе изоморфности алгебр над , представленном . Так как действует на , фактор определен, и это множество классов эквивалентности, очевидно, находится во взаимно-однозначном соответствии с классами изоморфности алгебр размерности над . Однако, этот фактор может не обладать никакой подходящей структурой. С другой стороны, так как условие того, что -мерная алгебра, определяемая множеством структурных констант ассоциативна, выражается обращением в ноль некоторых квадратичных многочленов на этих константах, то для конечного множество является алгебраическим множеством (на самом деле пучком многообразий, в смысле Вейля [11], нормальным над простым полем ) в пространстве размерности .

Заметим, что если алгебра имеет структурные константы относительно некоторого выбора базиса, то умножение базисных элементов на общую константу заменит структурные константы на , — ненулевая константа. Таким образом, параметрическое пространство является конусом и приводит к алгебраическому множеству в проективном пространстве размерности . Заметим, что функция , то есть умножение в , — это элемент из и, в действительности, принадлежит , так как является кограницей тождественного отображения на себя. Отсюда следует, что интегрируема; замена на может быть получена интегрированием .

В настоящий момент представляет интерес сравнить конструкцию параметрического множества в частном случае аналитической теории с конструкцией, данной здесь. Определение Тейхмюллера параметрического пространства для множества компактных римановых поверхностей фиксированного рода , интепретированное в подходящих математических терминах гласит следующее. Пусть — фиксированная компактная ориентированная топологическая поверхность рода , и — набор всех пар , где — компактная риманова поверхность рода , а является гомеоморфизмом на , сохраняющим ориентацию. Пары и будут считаться эквивалентными, если гомотопно конформному отображению. Множество классов эквивалентности в теории Тейхмюллера является параметрическим пространством. Группа сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов на себя действует на следующим образом: если и в представлен посредством , то является точкой, представленной посредством . (Нормальная подгруппа в , состоящая из тех , которые гомотопны тождественному отображению, оставляет каждое неизменным, так что здесь в действительности дискретная группа действует на .) Это определение, несомненно, доставляет только множество точек , но не глубину его аналитической структуры, локальной или глобальной. Для этого смотри [1].

Для данных точек и из , соответствующих множествам и структурных констант, будем говорить, что является специализацией относительно поля , если является специализацией относительно . (В бесконечномерном случае является специализацией , если каждое конечное множество является специализацией соответствующего множества из .) Мы можем аналогично определить общие специализации. Предположим, что и — общие специализации друг друга. Тогда их минимальные поля определения и изоморфны, но алгебры и в общем случае не изоморфны, поскольку они определены над разными полями. Однако, существует изоморфизм из на (а именно тот, который индуцирован специализацией) и изоморфизм колец из на такие, что если , , то . Для данной пары алгебр над изоморфными полями, удовлетворяющих последнему соотношению, будем говорить что они квазиизоморфны, и пара — квазиизоморфизм. (Квазиизоморфные алгебры изоморфны как алгебры над простым полем.)

Еще раз возвращаясь к начальной точке в нашей схеме, мы видим, что деформируемые объекты являются не только алгебрами, но и элементами . Предположим, задан элемент из определенный над полем , и пусть является элементом из класса эквивалентности , где — алгебра над . Пусть является общим элементом однопараметрического семейства деформаций . Отображение определяет базис , а именно , и если мы рассмотрим лежащее в основе векторное пространство как содержащеся в соответствующем пространстве для , то оно остается базисом . Пусть является множеством структурных констант относительно этого базиса, и пусть — поле, порожденное над простым полем . Пусть — линейное пространство над , порожденное элементами из . Тогда является алгеброй над , и . Если размерность </latex> n </latex> конечна, то изоморфна некоторому подполю из , где , и это будет верно во всех случаях, пока мы предполагаем, что степень трансцендентности над простым полем по крайней мере . (Заметим, что предполагается алгебраически замкнутым.) Отсюда следует, что квазиизоморфна алгебре над . Образ базиса из при квазиизоморфизме будет базисом и определяет единственный линейный изоморфизм из на . Класс эквивалентности является некоторой точкой из , которая не единственным образом определяется и однопараметрическим семейством, но легко видеть, что любая другая точка из , которая может быть получена описанным выше процессом, является общей специализацией . Отсюда следует, что если — произвольная алгебра над , структурные константы которой относительно некоторого базиса, являются структурными константами, соответствующими , то однопараметрическое семейство деформаций определяет единственное подмногообразие в , содержащее и определенное над , то есть такое подмногообразие, общей точкой которого над является . (Заметим, что — регулярное расширение , поскольку оно изоморфно , которое является подполем, содержащим , регулярного расширения , а именно, .) Следующий тривиальный пример показывает, что степень трансцендентности над (то есть если , размерность , конечна) может быть больше, чем один. Пусть — алгебра над , порожденная элементами , такими, что , то есть является прямой суммой двух нулевых алгебр порядка один. Фиксирование базиса , определяет линейный изоморфизм и, таким образом, также точку из . Пусть — алгебра над с тем же базисом , , но умножение задается при помощи , , , где — степенной ряд от трансцендентный над . Очевидно, что .

В тривиальном случае, где произведение элементов базиса в определено только их произведением в , мы имеем , т.е. сводится к . Во всех других случаях , и мы будем говорить о точках в , что они «могут быть получены из непрерывной деформацией». Заметим, что для некоторой точки может быть выполнено . С другой стороны, если принадлежит классу эквивалентности , а — классу , то не является изоморфизмом.

Предположим теперь, что — это точка , рациональная над некоторым полем , и — точка , имеющая в качестве специализации, и такая, что является регулярным расширением . Мы можем рассматривать и как множества структурных констант , соответственно. Сверх того, предположим, что вложимо в кольцо степенных рядов так, что подстановка в индуцирует на подстановку . Тогда легко видеть, что существует однопараметрическое семейство деформаций такое, что подмногообразие в , связанное с этим семейством, в точности подмногообразие, определенное над , общей точкой которого является . В частности, если размерность (степень трансцендентности) над равна единице, то необходимое вложение в всегда возможно. Отсюда следует, что если рациональна над полем , и — одномерное подмногообразие , определенное над и содержащее , то точки получаются из непрерывной деформацией. Теперь предположим, что размерность конечна, так что является алгебраическим множеством в некотором пространстве размерности . Тогда для произвольной заданной точки в из той же компоненты , что и , существует одномерное подмногообразие в , определенное над полем определения для и содержащее . Следовательно, в конечномерном случае любая точка в данной компоненте из непрерывно деформируема в любую другую, это в точности то, что мы хотели бы получить для любого разумного определения деформации.

Теперь мы можем более подробно описать один из основных открытых вопросов этой теории. Пусть — точка из , рациональная над полем , и пусть — касательное пространство к в точке . Если принадлежит классу эквивалентности , где — алгебра над , то любой элемент может рассматриваться как билинейная функция из в , и, очевидно, что эта билинейная функция является элементом из . Это линейное пространство может быть отождествлено с посредством базиса, выбранного в при помощи , а элементы , рациональные над , могут быть отождествлены с . Поэтому элементы касательного пространства к в точке могут быть интерпретированы как инфинитезимальные деформации. Является открытым вопрос, верно ли, что для данной пары каждый элемент из — это элемент из , где — класс эквивалентности . Для многих целей было бы достаточно знать, что является простой точкой некоторой компоненты из (в этом случае размерность предполагается конечной).

Если — проста на , то имеет касательное пространство в , и для любого данного элемента этого многообразия, то есть для любого данного касательного вектора к в , существует одномерное подмногообразие в , проходящее через и касающееся в этого касательного вектора. Легко видеть, что это значит, что данный касательный вектор интегрируем как элемент . Если лежит на единственной компоненте и является простой, то отсюда должно бы следовать, что каждый элемент интегрируем. Тогда теории препятствий следовало бы заниматься только особенностями . Более того, отсюда должно бы следовать, что алгебра жесткая тогда и только тогда, когда . Это наводит на мысль (если ответ на открытый вопрос утвердительный), что если , то должны найтись некоторые формальные средства, чтобы выявить интегрируемый элемент в . Будет видно, что соответствующий вопрос для имеет тривиальный ответ. В нулевой характеристике каждый элемент из интегрируем, а в характеристике существуют элементы из , которые не соответствуют касательным векторам группы автоморфизмов. Отметим, однако, фундаментальный факт, что размерность по крайней мере равна размерности линейного многообразия, присоединенного к в . Так как каждый элемент из интегрируем, то отсюда следует, что если , то — простая точка , в частности, она содержится только в одной компоненте . Более того, если — любая другая точка этой компоненты, и элемент из класса эквивалентности , где определена над тем же полем, что и , тогда изоморфна .

Ясно, что все предыдущие рассмотрения также будут сохраняться для ограниченной теории деформаций до тех пор, пока ассоциированное параметрическое пространство является еще и алгебраическим множеством. Это случай коммутативной теории деформаций и, в конечномерном случае, нильпотентной теории.

Причина рассмотрения точек как объектов теории деформаций, которые, грубо говоря, являются алгебрами с фиксированными базисами, а не самих алгебр, заключается в том, что «деформация» алгебры обычно будет влечь за собой расширение поля, над которым определена алгебра. Теперь, если задана алгебра над полем , и является расширением , то , вообще говоря, не эквивалентна ни в каком приемлемом смысле , ввиду того, что могут быть неизоморфные над одним и тем же полем алгебры и , такие что изоморфна . Это хорошо известный факт в изучении полупростых алгебр. Более того, чтобы подчеркнуть его, мы показываем, что он также возможен для нильпотентных алгебр. Чтобы привести пример, удобно ввести первое общее обозначение центральной над полем алгебры; является центральной над , если — единственное (с точностью до изоморфизма) максимальное поле, над которым может рассматриваться как алгебра. (В общем случае, может не существовать поля, над которым данная алгебра центральна.)

Пусть — алгебра над полем ; неразложима, если она не является прямой суммой подалгебр над . Предположим теперь, что , — расширения , и что каждое представимо линейными преобразованиями на так, что элементы представлены умножением на себя и таковы, что если является произвольным преобразованием представления, то для всех , т.е. предположим, что является также и -алгеброй над . Тогда также действует на . Предположим, что конечномерна над . А следовательно, над и . Более того, если совершенно или нулевой характеристики, то является прямой суммой полей. Если неразложима, то хотя бы один из прямых слагаемых в действует как множество нулевых операторов на , и — алгебра над оставшимся слагаемым, которое является некоторым композитом и . Следовательно, мы имеем

Лемма. Пусть — конечномерная неразложимая алгебра над полем , которое либо совершенно, либо нулевой характеристики. Тогда существует расширение , единственное с точностью до изоморфизма, над которым центральна.

Предположим теперь, что — конечномерная неразложимая алгебра над полем , которое либо совершенно, либо нулевой характеристики. Тогда расширение для , существование которого доставляется леммой, будет называться эксцентром . Если изоморфна над , то эксцентр изоморфен эксцентру . Теперь легко привести примеры нильпотентных алгебр над полем рациональных чисел , которые неизоморфны над , но изоморфны над некоторым расширением. Заметим, что если — произвольная алгебра над полем , то прямая сумма векторного пространства с собой может быть превращена в нильпотентную алгебру индекса 3 над , полагая . Обозначим эту алгебру через . Пусть теперь , полю рациональных чисел, положим , , — четырехмерная алгебра индекса 3 над , и . Пусть — произвольное расширение , содержащее и , и . Тогда изоморфна , откуда изоморфна . С другой стороны, неизоморфна ввиду того, что и неразложимы, и очевидно, что является эксцентром , а — эксцентром . Так как их эксцентры неизоморфны, то таковы же и .

Предыдущий пример показывает, что сложности, сопровождающие расширение основного поля, присутствуют даже для нильпотентных алгебр. Предположим теперь, что и — алгебры над полем , и что — расширение . Если базисы в и фиксированы, и линейное преобразование на , полученное отображением заданного базиса в базис и продолженное по линейности, является изоморфизмом, то, несомненно, изоморфна над . Следовательно, если базис фиксирован, мы можем рассматривать как эквивалентную .

Теперь расмотрим кратко, так же, как в §1, пространство автоморфизмов алгебры , определенной над полем . Общий элемент однопараметрического семейства автоморфизмов является автоморфизмом , но не . Полагая, что базис фиксирован, если размерность — это , то автоморфизм для определен множеством элементов из (коэффициенты в матрице относительно данного базиса), а они удовлетворяют некоторым полиномиальным соотношениям, которые могут быть выбраны так, чтобы определять алгебраическое множество . Считается, что точки в этом множестве имеют коэффициенты из . Те из них, которые рациональны над полем , образуют подгруппу , которая изоморфна группе автоморфизмов . Если размерность над простым полем достаточно большая, то автоморфизм на определяет набор точек из , которые являются общими специализациями друг друга, имеют точку из , соответствующую тождественному автоморфизму как специализации и обладают свойством, что регулярно над . Следовательно, как в случае для деформаций, так как базис для фиксирован, однопараметрическое семейство автоморфизмов однозначно определяет подмногообразие в , содержащее единицу. Если было бы взято в виде , то должен быть автоморфизмом , мы бы могли рассматривать однопараметрические семейства, значением которых при является , и рассматриваемое многообразие должно содержать вместо (или, возможно, вместе) единицы. Будем говорить, что мы можем пройти непрерывно от к любому элементу . Как и прежде, любое одномерное многообразие , содержащее , может быть порождено однопараметричаеским семейством, и, в конечномерном случае, мы можем пройти непрерывно от любой точки в некоторой компоненте к любой другой из этой же компоненты. (Снова в общем случае размерность подмногообразия из , определенного однопарамтрическим семейством автоморфизмов , будет больше, чем один.)

Пока мы продолжаем считать, что размерность конечна. Так как базис фиксирован, то является алгебраической матричной группой. Каждая точка соответствует одной и только одной компоненте и проста в ней. Если — алгебра над , то касательные вектора в , которые рациональны над , могут быть отождествлены с элементами . Если характеристика нулевая, то обратно, каждый элемент из является касательным вектором в , как можно легко увидеть из того факта, что </latex>\varphi</latex> интегрируем, где — общий элемент однопараметрического семейства, дифференциалом которого является . Предположим теперь, что это поле характеристики два, и пуcть — двумерная алгебра над с единицей и элементом таким, что . (Тогда является групповой алгеброй над группы из двух элементов.) Линейное отображение , определенное посредством , , — дифференцирование, которое является препятствием, т.е. не интегрируемое, откуда не каждый элемент из в действительности представляет касательный вектор к в . (Для каждого простого групповая алгебра для над полем характеристики всегда имеет препятствующее дифференцирование.)

Как отмечалось ранее, в бесконечномерном случае и для деформаций, и для автоморфизмов многообразие, определенное над полем , может не иметь слишком много алгебраических точек над (тогда как в конечномерном случае они его определяют). Как пример сложностей, которые могут возникнуть, пусть — нулевой характеристики, — алгебра над и — дифференцирование в себя. Тогда является общим элементом однопараметрического семейства автоморфизмов , и, в действительности, автоморфизмом . Предположим теперь, что — поле комплексных чисел, и — поле рациональных функций от одной переменной над . Это алгебра над счетно бесконечной размерности. Если — любая рациональная функция от , то может быть единственным образом продолжено до дифференцирования в . В частности, мы можем взять . Тогда легко показать, что Если бы любая точка подмногообразия в , определенного этим однопараметрическим семейством, была алгебраической над (и, следовательно, рациональной над ), то существовал бы элемент такой, что может быть продолжено до автоморфизма . Теперь все автоморфизмы имеют вид , и функция не может иметь такой вид ни для какого , как без труда можно увидеть, заметив, что это четная функция от . Следовательно, только алгебраическая точка является единицей.

В §1 параметрическое пространство было определено как набор пар , состоящих из алгебры и линейного изоморфизма из фиксированного -мерного пространства на с некоторыми отождествлениями. Отсюда следует, что может быть естественным образом представлено как множество структурных констант и на нем естественным образом действует . Составим теперь алгебраическое множество , содержащееся в . Рассматривая как алгебру над , мы можем отождествить с и положить, что из действует на посредством . Удобно рассматривать как расслоенное пространство над , полагая, что слоем над точкой является алгебра (над ), структурные константы которой — , так как если представляет , то мы можем отождествить из с из .

Алгебраическое подмножество в , инвариантное относительно , будет называться алгебраическим множеством алгебр, или многообразием алгебр, если это многообразие. Пусть — такое множество, и — алгебраическое подмножество в , инвариантное относительно (рассматриваемой как действующей на ), с такими свойствами, что

1. проекцией на первый сомножитель является и
2. пересечение со слоем над точкой является линейным пространством.

Будем говорить тогда, что определяет алгебраическое пространство над или для каждой алгебры из (т.е. имеющей множество структурных констант в ). Если пересечение всегда является идеалом слоя, так как последний рассматривается как алгебра, тогда будем говорить, что определяет алгебраический идеал.

Легко проверить, что объединение всех точек из , где лежит в радикале алгебры, представленной , является алгебраическим подмножеством в и определяет алгебраический идеал. Другие алгебраические пространства — это левые и правые аннуляторы алгебры в себя, и ее центр. Примером неалгебраического идеала алгебры является ее квадрат.

Предположим, что определяет алгебраическое пространство над алгебраическим множеством алгебр . Тогда для каждой алгебры из определено целое число — размерность алгебраического подпространства, определяемого . Если определяется над полем и , лежат в , где — специализация относительно , то очевидно, что размерность алгебраического пространства, определяемого , алгебры, представляемой , больше или равна размерности алгебраического пространства для . Эта фундаментальная теорема о полунепрерывности сверху, ограниченная здесь до конкретной целозначной функции, но это правило может употребляться в более общих случаях.

Как пример применимости этой теоремы, заметим, что размерность радикала конечномерной алгебры является полунепрерывной сверху функцией от алгебры. Это снова влечет за собой жесткость сепарабельной полупростой алгебры, так как общий элемент однопараметрического семейства деформаций такой алгебры должен, по вышесказанному, снова быть полупростым; так как существует только конечное число неизоморфных полупростых алгебр данной размерности над алгебраически замкнутым полем, то общий элемент семейства должен, с точностью до расширения скаляров, быть тем же, что и исходная полупростая алгебра. Однако, таким образом еще не получено утверждение, что для сепарабельной полупростой алгебры.

Естественное параметрическое множество в теории деформаций иногда слишком большое. Существуют обстоятельства, в которых будут полезны подмногообразие или пучок подмногообразий , так как точки , представляющие данную алгебру, являются множеством нулевой размерности и действует на себе посредством группы нулевой размерности , преобразующей друг в друга точки такого множества. В этом случае должна рассматриваться как модулярная группа. (Даже еще более обще, может быть фактором подмногообразия или пучка подмногообразий из по некоторой группе.) Вместо того, чтобы обсуждать в общем случае обстоятельства, при которых мы можем ожидать дискретную модулярную группу, мы лучше закончим эту главу обсуждением теории деформаций тривиальной нильпотентной алгебры, которая иллюстрирует, однако, понятие модулярной группы, соответствующей деформациям этой алгебры.

Пусть является алгеброй -матриц с нулями на и ниже диагонали. Эта алгебра размерности и индекса нильпотентности . Мы ограничиваем рассмотрение до тех нильпотентных алгебр индекса , в которые непрерывно деформируема. Алгебра имеет естественный базис , , , и может рассматриваться как алгебра над простым полем . Инфинитезимальными деформациями в этой ограниченной теории (см. I.(10)) являются такие , что Так как является -коциклом, мы имеем также

Если , то \eqref{L1} влечет за собой то, что является правым аннулятором , а \eqref{L2} влечет за собой то, что он является левым аннулятором. Вместе это влечет за собой то, что является кратным . Отсюда следует, что если и выбраны среди базисных элементов , , , то только может быть таким, что кратен . Более того, , и обращаются в нуль. Чтобы увидеть первое из них, положим . , в \eqref{L1} и заметим, что является правым аннулятором . Остальные получаются аналогично.

Далее мы покажем, что на самом деле одномерна и что любой из когомологичен такому , что всякий раз, когда и выбраны из базиса , , , за исключением, возможно, случая, когда и , и что кратен . Теперь должен быть вида для некоторого и . Следовательно, , и . Так как и кратны , мы можем так выбрать и , что и , а затем мы можем выбрать так, что . Тогда . Предположение, что , , в \eqref{L1}, дает . Аналогично, . Это, вместе с тем, что уже было показано, доказывает утверждение.

Теперь каждый элемент из описанного типа интегрируем, так как алгебра с базисом , , и умножением, заданным при помощи , , , ассоциативна. Заметим теперь, что изоморфна тогда и только тогда, когда . После подходящего определения модулярной группы, ассоциированной с , отсюда будет следовать, что эта группа в точности является группой из двух элементов, представленная здесь как группа состоящая из единицы и преобразования . В этом случае вопрос прост потому, что было предоставлено сечение над , которое инвариантно относительно автоморфизмов . Существуют две фиксированные точки модулярной группы (исключая случай характеристики равной двум, когда они совпадают). Они соответствуют коммутативной алгебре с умножением , и косой алгебре с умножением , .