Введение [Algebraical.info]

Введение

В этой статье содержатся определения и некоторые элементарные теоремы из теории деформаций колец и алгебр. В данном случае мы рассматривем главным образом ассоциативные кольца и алгебры, лишь кратко упоминая о лиевом случае, но определения имеют место для более широкого класса алгебр.

Данная статья состоит из трех частей. В первой показано, что вторая группа когомологий $H^2(A,A)$ алгебры $A$ с коэффициентами в себе может рассматриваться как группа инфинитезимальных деформаций $A$ точно так же, как первая группа когомологий (дифференцирования $A$ в себя по модулю внутренних дифференцирований) может рассматриваться как группа инфинитезимальных автоморфизмов. Это простое наблюдение уже позволяет рассматривать обращение в нуль $H^2(A,A)$ как достаточное условие «жесткости» $A$ . (Вопрос о том, является ли это условие необходимым, открыт до сих пор.) Отсюда сразу же следует, что сепарабельные полупростые алгебры являются жесткими. Также показано, что если поле $K$ — расширение (возможно, бесконечное) поля $k$ , то $K$ сепарабельно над $k$ (т.е. $K$ и $k^{1/p}$ линейно свободны над $k$ ) тогда и только тогда, когда вторая группа когомологий поля $K$ (рассматриваемого как коммутативная алгебра над $k$ ) с коэффициентами в себе обращается в нуль. Отсюда, в частности, следует, что поле, рассматриваемое как коммутативная алгебра над своим простым полем, является жестким в теории деформаций коммутативных алгебр. Эта же часть содержит доклад о формальной теории препятствий для дифференцирований и инфинитезимальных деформаций и о глобальных деформациях, индуцированных первым препятствием к дифференцированию в характеристике $p$ . Это препятствие является когомологической операцией, отображающей $H^1(A,A)$ в $H^2(A,A)$ , и возможно, что кольцо когомологий некоторого кольца обладает дополнительными когомологическими операциями, аналогичными во многих отношениях операциям Стинрода.

Вторая часть главным образом посвящена обсуждению множества структурных констант для $n$ -мерных ассоциативных алгебр как параметрического пространства в теории деформаций этих алгебр. Она содержит простую, но фундаментальную теорему о полунепрерывности сверху, частный случай которой утверждает, что размерность радикала алгебры является полунепрерывной сверху функцией этой алгебры.

В последней части излагается теория деформаций для градуированных и фильтрованных колец и даются достаточные условия для того, чтобы полное фильтрованное кольцо было изоморфно своему ассоциированному градуированному кольцу. В частности видно, что алгебра $A$ с единицей над бесконечным полем $k$ жесткая тогда и только тогда, когда кольцо степенных рядов от одной или нескольких переменных с коэффициентами из $A$ является жестким. (Возможно, эти предположения можно существенно ослабить.) Жесткость поля как кольца над своим простым полем влечет за собой теорему И. С. Коэна¹⁾, утверждающую, что полное равнохарактеристическое регулярное локальное кольцо является кольцом степенных рядов.

Некоторые аспекты изложенной теории деформаций и теории Фрелихера²⁾-Кодаиры³⁾-Нийенхейса⁴⁾-Спенсера⁵⁾ похожи друг на друга. Сравнивая алгебраическую и аналитическую теории, можно сделать вывод, что любая теория деформаций должна включать по крайней мере следующие положения:

Определение класса объектов, на которых рассматривается деформация, и отождествление инфинитезимальных деформаций данного объекта с элементами подходящей когомологической группы.
Теория препятствий к интегрированию инфинитезимальных деформаций.
Параметризация множества объектов, получаемых деформацией из заданного фиксированного объекта и конструкция расслоенного пространства, слоями которого являются эти объекты. Для некоторых естественных функций на параметрическом пространстве имеет место теорема о полунепрерывности сверху. Например, в алгебраической теории деформаций, как уже было замечено, размерность радикала является полунепрерывной сверху функцией алгебры.
Определение естественных автоморфизмов параметрического пространства (модулярная группа данной теории) и определение жестких объектов. В некоторых случаях почти все точки параметрического пространства будут представлять один и тот же жесткий объект, разными способами вырождающийся в объекты, допускающие собственные деформации.

Некоторые вопросы, поднятые в этом очерке, в алгебраической теории решаются много проще, чем в геометрической. Например, для конечномерных алгебр множество структурных констант является алгебраическим множеством в конечномерном пространстве и может быть взято в качестве параметрического пространства. С другой стороны, некоторые вопросы кажутся одинаково неразрешимыми в обеих теориях, подобно задаче об определении, когда касательное пространство в простой точке является тождественным пространству инфинитезимальных деформаций объекта, соответствующего этой простой точке.

Снова сравнивая алгебраическую и аналитическую теории, становится заметно, что интерпретация некоторых коциклов как инфинитезимальных, где это возможно, также лежит в области «теории деформаций». Мы обсуждаем $H^n(A,A)$ для алгебры $A$ при $n=1$ и $n=2$ , но логично предположить, что группы когомологий более высокого порядка также имеют естественные интерпретации как группы инфинитезимальных объектов. В любом случае, теория деформаций для алгебр показала, что прямая сумма групп $H^n(A,A)$ обладает более богатой структурой, чем представлялось ранее. Некоторые аспекты этой структуры такие, как существование градуированного лиева, а также коммутативного и ассоциативного произведения, обсуждались в [3]. Поверхностное знание последней статьи будет в определенных случаях полезно читателю настоящей статьи. Предполагается, что читатель знаком с когомологической теорией Хохшилда, представленной в [8].