====== Морфизм пучков ======
проверено. неплохо было бы пояснить про левые и правые обратные морфизмы
===== Морфизм предпучков =====
__Определение 1.__ Пусть \mathcal{F} и \mathcal{G} --- [[:glossary:topology:presheaf|предпучки]] на [[:glossary:topology|топологическом пространстве]] (X,\tau). **Морфизмом** \varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G} **предпучков**((morphism of presheafs)) \mathcal{F} и \mathcal{G} на X называется набор [[:glossary:morphism:group|морфизмов абелевых групп]] ([[:glossary:morphism:ring|колец]], [[:glossary:morphism:algebra|алгебр]]) \{\varphi(U):\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{G}(U)\vert U\in\tau\}, причем для произвольных множеств U,V\in\tau таких, что V\subseteq U, коммутативна следующая диаграмма: \begin{diagram}\node{\mathcal{F}(U)}\arrow{e,t}{\varphi(U)}\arrow{s,l}{\rho_{UV}}
\node{\mathcal{G}(U)}\arrow{s,r}{\rho'_{UV}}\\\node{\mathcal{F}(V)}\arrow{e,t}{\varphi(V)}
\node{\mathcal{G}(V),}\end{diagram}
где \rho и \rho' --- [[:glossary:topology:presheaf|отображения ограничения]] для \mathcal{F} и \mathcal{G} соответственно. Морфизм \varphi называется **изоморфимом предпучков**, если для него существуют левый и правый обратные морфизмы.
__Определение 2.__ Пусть \varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G} --- морфизм предпучков на топологическом пространстве (X,\tau). Тогда
- **ядром** морфизма \varphi называется предпучок \textrm{ker}~\varphi=\mathcal{F}_1, определенный формулой \mathcal{F}_1(U)=\textrm{ker}(\varphi(U));
- **коядром** морфизма \varphi называется предпучок \textrm{coker}~\varphi=\mathcal{F}_2, определенный формулой \mathcal{F}_2(U)=\textrm{coker}(\varphi(U));
- **образом** морфизма \varphi называется предпучок \textrm{im}~\varphi=\mathcal{F}_3, определенный формулой \mathcal{F}_3(U)=\textrm{im}(\varphi(U)).
===== Морфизм пучков =====
__Определение 3.__ Пусть \mathcal{F} и \mathcal{G} --- [[:glossary:topology:sheaf|пучки]] на [[:glossary:topology|топологическом пространстве]] (X,\tau). Тогда морфизм предпучков \mathcal{F} и \mathcal{G} называется **морфизмом пучков**((morphism of sheafs)).
__Определение 4.__ Пусть \varphi\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G} --- морфизм пучков на топологическом пространстве (X,\tau). Тогда
- **ядром** морфизма \varphi называется пучок \textrm{ker}~\varphi;
- **коядром** морфизма \varphi называется [[:glossary:topology:sheaf#пучок_ассоциированный_с_предпучком|пучок, ассоциированный с предпучком]] \textrm{coker}~\varphi;
- **образом** морфизма \varphi называется пучок, ассоциированный с предпучком \textrm{im}~\varphi.
__Определение 5.__ Морфизм пучков \varphi\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G} называют **инъективным**, если \textrm{ker}~\varphi=0, и **сюръективным**, если \textrm{im}~\varphi=\mathcal{G}.
Морфизм предпучков \varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G} индуцирует морфизм [[:glossary:topology:presheaf|слоев]] \varphi_P:\mathcal{F}_P\rightarrow\mathcal{G}_P по правилу: \varphi_P(\langle U,s\rangle)=\langle U,\varphi(U)(s)\rangle, где \langle U,s\rangle представляет некоторый слой.
__Предложение 1.__ Морфизм пучков \varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G} на топологическом пространстве (X,\tau) тогда и только тогда является изоморфизмом, когда индуцированный им морфизм слоев \varphi_P:\mathcal{F}_P\rightarrow\mathcal{G}_P является изоморфизмом для каждой точки P\in X.
===== Прямой и обратный образы пучка =====
Пусть \varphi\colon X\rightarrow Y --- непрерывное отображение топологических пространств.
__Определение 6.__ Для произвольного пучка \mathcal{F} на X определен пучок \varphi_*\mathcal{F} на пространстве Y, который каждому [[:glossary:topology|открытому]] подмножеству U\subseteq Y ставит в соответствие абелеву группу(кольцо, алгебру) \mathcal{F}(\varphi^{-1}(U)). Пучок \varphi_*\mathcal{F} называется **прямым образом** пучка \mathcal{F}.
__Определение 7.__ Для каждого пучка \mathcal{G} на Y определен пучок \varphi^{-1}\mathcal{G} такой, что \varphi^{-1}\mathcal{G}(U)=\varinjlim_{V\supseteq \varphi(U)}\mathcal{G}(V) для каждого открытого U\subseteq X. Такой пучок называется **обратным образом** пучка \mathcal{G}.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]]
{{tag>"алгебраическая геометрия" "изоморфизм предпучков" "коядро морфизма" "морфизм предпучков" "образ морфизма" "топологическое пространство" "ядро морфизма"}}