====== Предпучок топологического пространства ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]]. Говорят, что на <latex>X</latex> задан **предпучок**((presheaf)) [[:glossary:group#абелева_группа|абелевых групп]] ([[:glossary:ring|колец]], [[:glossary:algebra|алгебр]]) <latex>\mathcal{F}</latex> если каждому [[:glossary:topology|открытому подмножеству]] <latex>U\in\tau</latex> поставлена в соответствие абелева группа (кольцо, алгебра) <latex>\mathcal{F}(U)</latex>, а для каждой пары открытых подмножеств <latex>V,U\in\tau</latex> таких, что <latex>V\subseteq U</latex>, определен [[:glossary:morphism:group|морфизм абелевых групп]] ([[:glossary:morphism:ring|колец]], [[:glossary:morphism:algebra|алгебр]]) <latex>\rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{F}(V)</latex>, причем выполнены следующие условия:
  - <latex>\mathcal{F}(\varnothing)=0</latex>;
  - <latex>\rho_{UU}=\textrm{id}_{\mathcal{F}(U)}</latex>;
  - <latex>W\subseteq V\subseteq U\Rightarrow\rho_{UW}=\rho_{VW}\circ\rho_{UV}</latex>.

Элементы <latex>\mathcal{F}(U)</latex> называются **сечениями предпучка**((section of shief)) <latex>\mathcal{F}</latex> над открытым множеством <latex> U </latex>. Отображения <latex>\rho_{UV}</latex> называются **отображениями ограничения**((restriction mapping)). Часто для <latex>s\in\mathcal{F}(U)</latex> вместо <latex>\rho_{UV}(s)</latex> пишут <latex>s\vert_{V}</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>X</latex> --- топологическое пространство и <latex>A</latex> --- абелева группа. Для каждого непустого открытого множества <latex>U</latex> положим <latex>\mathcal{A}(U)=A</latex>. Тогда вместе с тождественными отображениями ограничения набор групп <latex>\mathcal{A}(U)</latex> задает предпучок <latex>\mathcal{A}</latex>. Этот предпучок называется **постоянным**((constant presheaf)).

__Пример 2.__ Пусть <latex>X</latex> --- топологическое пространство и <latex>M</latex> --- произвольное множество. Для каждого непустого открытого подмножества <latex>U</latex> из <latex>X</latex> положим <latex>\mathcal{F}(U)</latex> --- множество всех [[:glossary:mapping|функций]] <latex>f\colon U\rightarrow M</latex>. Для <latex>V\subseteq U</latex> отображение ограничения <latex>\rho_{UV}</latex> --- естественное ограничение функции на помножество. Тогда легко видеть, что <latex>\mathcal{F}</latex> --- предпучок, который называется **предпучком всех функций** на <latex>X</latex>.

__Определение 2.__ **Слоем**((fiber)) <latex>\mathcal{F}_P</latex> предпучка <latex>\mathcal{F}</latex> в точке <latex>P\in X</latex> называется [[:glossary:module:limit:inductive|прямой предел]] абелевых групп (колец, алгебр) <latex>\mathcal{F}(U)</latex> (относительно отображений ограничения) по всем [[:glossary:topology:neighborhood|окрестностям]] <latex> U </latex> точки <latex> P </latex>. Элементы слоя <latex>\mathcal{F}_P</latex> называются **ростками**((germ)) сечений предпучка <latex>\mathcal{F}</latex> в точке <latex> P </latex>.

__Замечание 1.__ Пусть <latex>\mathcal{T}(X)</latex> [[:glossary:category|категория]], объекты которой --- множества <latex>U\in\tau</latex>, а морфизмы <latex>\textrm{Hom}(V,U)</latex> --- отображения вложения. Тогда предпучок --- это [[:glossary:category:functor|контравариантный функтор]] из категории <latex>\mathcal{T}(X)</latex> в [[::glossary:category:group:commutative|категорию]] <latex>\mathcal{A}</latex> [[:glossary:category:group:commutative|абелевых групп]] ([[:glossary:category:ring|колец]], [[:glossary:category:algebra|алгебр]]).
===== Структурный предпучок =====
__Пример 3.__ Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring:element:zero-divisor#область_целостности|целостное кольцо]]. Обозначим через <latex>K</latex> его [[:glossary:field:quotient|поле частных]]. Кольцу <latex>A</latex> соответствует топологическое пространство <latex>\textrm{Spec}~A</latex> --- [[:glossary:ring:spectrum|простой спектр кольца]]. Для каждого открытого подмножества <latex>U\subseteq\textrm{Spec}~A</latex> определим множество <latex>\mathcal{O}(U)</latex> таких элементов <latex>u\in K</latex>, что в каждой точке <latex>x\in U</latex> существует представление <latex>u=\frac{a}{b}</latex>, где <latex>b(x)\neq 0</latex>((или, что то же самое, <latex>b\not\in x</latex>)). Из построения <latex>\mathcal{O}(U)</latex> немедленно следует, что это кольцо, содержащееся в <latex>K</latex>. Кроме того, если <latex>V\subset U</latex>, то <latex>\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)</latex> --- естественное вложение. Легко видеть, что набор колец <latex>\mathcal{O}(U)</latex> вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на <latex>\textrm{Spec}~A</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:topology:sheaf:morphism|Морфизм пучков]]
  * [[:glossary:topology:sheaf|Пучок топологического пространства]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/105336/?partner=lds1938|Хартсхорн Р. «Алгебраическая геометрия», Мир, 1981.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3422196/?partner=lds1938|Шафаревич И.Р. «Основы алгебраической геометрии», МЦНМО, 2007.]]

{{tag>"алгебраическая геометрия" "абелева группа" "категория" "контравариантный функтор" "постоянный предпучок" "предпучок" "прямой предел" "росток сечения предпучка" "сечение предпучка" "слой предпучка" "топологическое пространство"}}