====== Окрестность в топологическом пространстве ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Описание =====
__Определение 1.__ **Окрестностью подмножества**((set neighborhood)) <latex> A </latex> [[:glossary:topology|топологического пространства]] <latex>(X,\tau)</latex> называется всякое [[:glossary:topology|открытое множество]] <latex>U_A</latex>, содержащее это подмножество: <latex>A\subseteq U_A\in\tau</latex>. В частности, **окрестностью точки**((neighborhood of point, point neighborhood, suburb of point)) <latex> x </latex> топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex> называется всякое открытое множество <latex>U_x\in\tau</latex>, содержащее эту точку: <latex>x\in U_x</latex>.

__Пример 1.__ Любая точка <latex> x </latex> топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex> допускает в качестве окрестности все пространство: <latex>U_x=X</latex>.

__Предложение 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство, тогда <latex> U </latex> открытое в <latex>(X,\tau)</latex> если и только если для каждого <latex>x\in U</latex> найдется окрестность <latex>U_x</latex> точки <latex>x</latex>, содержащаяся в <latex>U</latex>, <latex>x\in U_x\subseteq U</latex>.<wrap hide><latex>(\forall x\in U)(\exists U_x\in\tau):x\in U_x\subseteq U</latex>.</wrap>

===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
  * Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
  * Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.

{{tag>"топология" "окрестность подмножества" "окрестность точки" "открытое подмножество" "топологическое пространство"}}