====== Метрическое пространство ======
===== Метрика на множестве =====
__Определение 1.__ Пусть M --- произвольное [[:glossary:set|множество]], \rho:M\times M\rightarrow\mathbb{R} --- [[:glossary:mapping|функция]], удовлетворяющая следующим условиям:
- положительная определенность:\\ \rho(x,y)\geqslant 0 для всех x, y\in M, причем \rho(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y;(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)\geqslant 0\wedge(\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y);
- симметричность:\\ \rho(x,y)=\rho(y,x) для всех x, y\in M;(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)=\rho(y,x);
- неравенство треугольника:\\ \rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y) для всех x,y,z\in M.(\forall x\in M)(\forall y\in M)(\forall z\in M):\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y).
Тогда пара (M,\rho) называется **метрическим пространством**((metric domain, metric space)), а функция \rho --- **метрикой**((metric)), или **функцией расстояния**((distance function)). Число \rho(x,y) называется **расстоянием**((distance)) между точками x и y.
===== Метрическая топология =====
__Определение 2.__ **Открытым шаром**((open ball)) в метрическом пространстве (M,\rho) радиуса \varepsilon>0 с центром в точке a\in M называется множество D_\varepsilon(a)=\{x\in M\vert\rho(x,a)<\varepsilon\}.
__Теорема 1.__ Пусть (M,\rho) --- произвольное метрическое пространство. Тогда семейство \sigma_\rho=\{D_\varepsilon(a)\vert a\in M,\varepsilon>0\} образует [[:glossary:topology:base|базу]] некоторой [[:glossary:topology|топологии]] на M. Эта топология называется **метрической**((metric topology)) и обозначается \tau_\rho.
__Пример 1.__ Пусть M=\mathbb{R}^n. Тогда функция \rho_U(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2} определяет метрику на \mathbb{R}^n. Таким образом, (\mathbb{R}^n,\rho_U) --- метрическое пространство, а базу топологии на \mathbb{R}^n задает множество открытых шаров \{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\}.
__Определение 3.__ [[:glossary:topology|Топологическое пространство]] (X,\tau) называется **метризуемым**((metrizable space)), если на нем можно ввести метрику \rho, такую что \tau=\tau_\rho. В противном случае (X,\tau) --- **не метризуемое**((nonmetrizable space)).
__Пример 2.__ Пусть X --- произвольное множество и \rho_D(x,y)=\begin{cases}0, & x=y\\ 1, & x\neq y\end{cases}. Тогда (X,\rho_D) является метрическим пространством, причем метрическая топология \tau_{\rho_D} совпадает с [[:glossary:topology|дискретной топологией]] \tau_D на X . Таким образом, (X,\tau_D) --- метризуемое топологическое пространство.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
* Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
* Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.
{{tag>"топология" "метрика" "метризуемое пространство" "метрическое пространство" "открытый шар" "расстояние" "топологическое пространство" "функция расстояния"}}