====== Топологическая группа ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Множество <latex>G</latex> называется **топологической группой**((topological group)), если
  - <latex>G</latex> является [[:glossary:group|группой]];
  - <latex>G</latex> является [[:glossary:topology|топологическим пространством]];
  - Групповые операции <latex>G\times G\rightarrow G\colon (x,y)\mapsto x\cdot y</latex> и <latex>G\rightarrow G\colon x\mapsto x^{-1}</latex> являются [[:glossary:topology:mapping:continuous|непрерывными]] в этой топологии((Подразумевается, что на <latex>G\times G</latex>--- [[:glossary:topology:product|топология произведения]].)).

__Замечание 1.__ Можно переформулировать это определение следующим образом: топологическая группа --- это группа <latex>G</latex>, одновременно являющаяся топологическим пространством, причем
  - для любого [[:glossary:topology|открытого подмножества]] <latex>U\subseteq G</latex> найдутся такие открытые подмножества <latex>V,W\subseteq G</latex>, что <latex>VW=\{v\cdot w\vert v\in V, w\in W\}=U</latex>,
  - для любого открытого подмножества <latex>U\subseteq G</latex> найдется такое открытое подмножество <latex>V\subseteq G</latex>, что <latex>V^{-1}=\{v^{-1}\vert v\in V\}=U</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>V=\mathbb{R}^n</latex> --- <latex>n</latex>-мерное [[:glossary:space:linear|векторное пространство]], а значит, [[:glossary:group#абелева_группа|абелева группа]] относительно операции сложения. Кроме того, <latex>\mathbb{R}^n</latex> является [[:glossary:topology:metric#метрическая_топология|метрическим]] топологическим пространством с [[:glossary:topology:metric#метрика_на_множестве|метрикой]] <latex>\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}</latex> ( см. [[:glossary:topology:metric#метрическая_топология|Пример 1]]). Операции [[:glossary:group#абелева_группа|сложения]] и взятия [[:glossary:group#абелева_группа|противоположного элемента]] непрерывны в этой топологии, поэтому <latex>\mathbb{R}^n</latex> --- топологическая группа.
===== Свойства =====
__Предложение 1.__ Для любых двух элементов <latex>x,y\in G</latex> существует непрерывное отображение <latex>g\colon G\rightarrow G</latex> такое, что <latex>g(x)=y</latex>.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Определим отображение умножения слева на элемент <latex>a\in G</latex>:
<WRAP centeralign><latex>f_a(x)=a\cdot x</latex> для всех <latex>x\in G</latex>.</WRAP>
Это непрерывное отображение, так как по определению для окрестности <latex>U_{a\cdot x}</latex> точки <latex>a\cdot x</latex> найдутся такие окрестности <latex>U_x</latex> и <latex>U_a</latex> точек <latex>x</latex> и <latex>a</latex> соответственно, что <latex>U_aU_x\subseteq U_{a\cdot x}</latex>. Поскольку <latex>a\in U_a</latex>, то <latex>aU_x\subseteq U_{a\cdot x}</latex>, то есть <latex>f_a(U_x)\subseteq U_{a\cdot x}</latex>, что и означает непрерывность отображения <latex>f_a</latex>.

Искомое отображение --- это отображение <latex>f_{yx^{-1}}</latex>.
</hidden>

__Следствие 1.__ Все локальные свойства топологической группы <latex>G</latex> достаточно проверять только для [[:glossary:group|единичного элемента группы]].
===== Подгруппа =====
__Определение 2.__ Подмножество <latex>H</latex> топологической группы <latex>G</latex> называется **подгруппой**((subgroup of topological group)), если
  - <latex>H</latex> [[:glossary:group#подгруппа|подгруппа]] в <latex>G</latex>;
  - <latex>H</latex> --- [[:glossary:topology#топология_на_множестве|замкнутое]] подмножество в <latex>G</latex>.

__Определение 3.__ Подгруппа <latex>H</latex> топологической группы <latex>G</latex> называется ее **нормальной подгруппой**((normal subgroup of topological group)), если <latex>H</latex> --- [[:glossary:group#подгруппа|нормальная подгруппа]] в <latex>G</latex>.
===== Факторгруппа топологической группы =====
__Предложение 2.__ Пусть <latex>G</latex> --- топологическая группа и <latex>H</latex> --- ее нормальная подгруппа. Рассмотрим  [[:glossary:group:factor|факторгруппу]] <latex>G/H</latex> и определенную на ней структуру [[:glossary:topology:factor|фактортопологии]]. Тогда групповые операции на группе <latex>G/H</latex> будут непрерывны в этой топологии.

__Определение 4.__ **Факторгруппой топологической группы**((quotient of topological group)) <latex>G</latex> по нормальной подгруппе <latex>H</latex> называется факторгруппа <latex>G/H</latex> с индуцированной структурой фактортопологии.
===== Гомоморфизм топологических групп =====
__Определение 5.__ Отображение <latex>\varphi\colon G\rightarrow H</latex> называется **гомоморфизмом топологических групп**((homomorphism of topological groups)), если оно является
  - [[:glossary:morphism:group|гомоморфизмом групп]];
  - непрерывным отображением топологических пространств.

__Определение 6.__ Отображение <latex>\varphi\colon G\rightarrow H</latex> называется **изоморфизмом топологических групп**((isomorphism of topological groups)), если оно является
  - [[:glossary:morphism:group|изоморфизмом групп]];
  - [[:glossary:topology:homeomorphism|гомеоморфизмом]] топологических пространств.

__Определение 7.__ **Автоморфизмом**((automorphism)) топологической группы <latex>G</latex> называется изоморфизм <latex>\varphi\colon G\rightarrow G</latex>.
===== Литература =====
  * [[https://www.ozon.ru/context/detail/id/4561752/?partner=lds1938|Понтрягин Л.С. «Непрерывные группы», УРСС, 2009.]]

{{tag>"топология" "автоморфизм топологической группы" "гомоморфизм топологических групп" "изоморфизм топологических групп" "нормальная подгруппа топологической группы" "подгруппа топологической группы" "топологическая группа" "факторгруппа топологической группы" }}