====== Открытое покрытие ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Семейство [[:glossary:set|подмножеств]] <latex>\mathcal{A}=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in I\}</latex> называется **покрытием множества**((covering of set, set cover)) <latex> X </latex>, если <latex>X=\underset{\alpha\in I}{\bigcup}U_\alpha</latex>. Пусть <latex>Y\subset X</latex> --- подмножество, тогда <latex>\mathcal{A}</latex> --- покрытие <latex> Y </latex>, если <latex>\underset{\alpha\in I}{\bigcup}U_\alpha\supseteq Y</latex>.

__Определение 2.__ Если <latex> X </latex> является [[:glossary:topology|топологическим пространством]] с [[:glossary:topology|топологией]] <latex>\tau</latex> и если <latex>\mathcal{A}</latex> --- покрытие пространства <latex>(X,\tau)</latex> [[:glossary:topology|открытыми множествами]], то говорят, что <latex>\mathcal{A}</latex> --- **открытое покрытие**((open cover)).

__Пример 1.__ Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- топологическое пространство. Любая база топологии <latex>\tau</latex> является открытым покрытием пространства <latex> X </latex>.

__Определение 3.__ Если <latex> X </latex> является [[:glossary:topology|топологическим пространством]] с [[:glossary:topology|топологией]] <latex>\tau</latex> и если <latex>\mathcal{A}</latex> --- покрытие пространства <latex>(X,\tau)</latex> [[:glossary:topology|замкнутыми множествами]], то говорят, что <latex>\mathcal{A}</latex> --- **замкнутое покрытие**((closed cover)).

__Определение 4.__ Говорят, что покрытие <latex>\mathcal{A}</latex> топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex> является конечным (счетным), если в нем конечное (счетное) число элементов.

__Определение 5.__ Говорят, что покрытие <latex>\mathcal{A}</latex> топологического пространства <latex>(X,\tau)</latex> является фундаментальным, если для любого топологического пространства <latex>(Y,\omega)</latex> и любого отображения <latex>f:X\rightarrow Y</latex> из [[:glossary:topology:mapping:continuous|непрерывности]] отображений <latex>f_{\vert A}:U_\alpha\rightarrow Y</latex> для всех <latex>U_\alpha\in\mathcal{A}</latex> следует непрерывность <latex> f </latex>.

__Теорема 1.__ Любое открытое покрытие является фундаментальным.

__Теорема 2.__ Любое конечное замкнутое покрытие является фундаментальным.

===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
  * Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
  * Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.


{{tag>"топология" "замкнутое покрытие" "открытое покрытие" "покрытие множества" "топологическое пространство" "фундаментальное покрытие"}}