====== Аксиомы отделимости ======
===== Описание =====
Пусть <latex>(X,\tau)</latex> --- [[:glossary:topology|топологическое пространство]].

__Определение 1.__ Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет **аксиоме отделимости** <latex>T_0</latex>((T<sub>0</sub> space)), или является **колмогоровским пространством**((Kolmogorov space)), если из каждых двух различных точек топологического пространства по крайней мере одна имеет [[:glossary:topology:neighborhood|окрестность]], не содержащую другую точку: \\ <latex>(T_0)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})((\exists U_a\in\tau):(U_a\not\ni b)\vee((\exists U_b\in\tau):U_b\not\ni a)</latex>.\\ В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_0</latex>.

<wrap hide>
__Определение 2.__ Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет **первой аксиоме отделимости**((T<sub>1</sub> space)), если для любых двух различных точек <latex>a,b\in X</latex> существует [[:glossary:topology:neighborhood|окрестность точки]] <latex> a </latex>, не содержащая <latex> b </latex>:\\ <latex>(T_1)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})(\exists U_a\in\tau):U_a\not\ni b</latex>.\\ В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_1</latex>.
</wrap>

__Определение 2.__ Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет **первой аксиоме отделимости**((T<sub>1</sub> space)), если каждая точка всякой пары различных точек <latex>a</latex> и <latex>b</latex> топологического пространства имеет окрестность, не содержащую другую точку:\\ <latex>(T_1)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})(\exists U_a\in\tau):U_a\not\ni b</latex>.\\ В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_1</latex>.

__Пример 1.__ Очевидно, что <latex>(X\in T_1)\Rightarrow(X\in T_0)</latex>; обратное, вообще говоря, не верно. Рассмотрим вещественную прямую <latex>\mathbb{R}^1</latex> с топологией <latex>\tau</latex>, базу которой образуют интервалы <latex>(x;+\infty)</latex>. Пространство <latex>(\mathbb{R}^1,\tau)</latex> удовлетворяет аксиоме <latex>T_0</latex>:\\ 
{{ :glossary:topology:axiom:ex1.jpg?400 |Пример 1}}
но не удовлетворяет аксиоме <latex>T_1</latex>.\\
{{ :glossary:topology:axiom:ex2.jpg?400 |Пример 2}}

__Определение 3.__ Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет **второй аксиоме отделимости**((T<sub>2</sub> space)), или **хаусдорфово**((Hausdorff space)), если любые две различные точки обладают непересекающимися окрестностями:\\ <latex>(T_2)\hskip 1cm(\forall a\in X)(\forall b\in X\backslash\{a\})(\exists U_a\in\tau)(\exists U_b\in\tau):U_a\cap U_b=\varnothing</latex>.\\ В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_2</latex>.

__Пример 2.__ Топологическое пространство <latex> X </latex> с [[:glossary:topology:zariski|топологией Зарисского]] удовлетворяет аксиоме <latex>T_1</latex>, но не является хаусдорфовым, так как любые две окрестности, лежащие в одной компоненте связности, пересекаются.

__Определение 4.__ Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет **третьей аксиоме отделимости**((T<sub>3</sub> space)), если у любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества есть непересекающиеся окрестности:\\ <latex>(T_3)\hskip 1cm(\forall F\in\mathcal{F})(\forall a\in X\backslash F)(\exists U_F\in\tau)(\exists U_a\in\tau):U_F\cap U_a=\varnothing</latex>.\\ В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_3</latex>.

__Определение 5.__ Говорят, что <latex> X </latex> является **регулярным топологическим пространством**((regular space)), если <latex>X\in T_1</latex> и <latex>X\in T_3</latex>.

__Определение 6.__ Говорят, что <latex> X </latex> удовлетворяет **четвертой аксиоме отделимости**((T<sub>4</sub> space)), если у любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности:\\ <latex>(T_4)\hskip 1cm(\forall F\in\mathcal{F})(\forall G\in\mathcal{F})(\exists U_F\in\tau)(\exists U_G\in\tau):F\cap G=\varnothing\Rightarrow U_F\cap U_G=\varnothing</latex>.\\ В этом случае мы будем писать <latex>X\in T_4</latex>.

__Определение 7.__ Говорят, что <latex> X </latex> является **нормальным топологическим пространством**((normal space)), если <latex>X\in T_1</latex> и <latex>X\in T_4</latex>.

__Предложение 1.__ Всякое нормальное топологическое пространство является регулярным: <latex>(X\in T_1)\wedge(X\in T_4)\Rightarrow(X\in T_1)\wedge(X\in T_3)</latex>.

__Предложение 2.__ Всякое регулярное топологическое пространство является хаусдорфовым: <latex>(X\in T_1)\wedge(X\in T_3)\Rightarrow(X\in T_2)</latex>.

__Предложение 3.__ Всякое хаусдорфово топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости: <latex>(X\in T_2)\Rightarrow(x\in T_1)</latex>.

__Предложение 4 (**Теорема Тихонова**).__ Всякое регулярное топологическое пространство удовлетворяющее [[:glossary:topology:axiom:countability|второй аксиоме счетности]] является нормальным.

__Предложение 5.__ Топологическое пространство <latex>(X,\tau)</latex> удовлетворяет аксиоме <latex>T_1</latex> тогда и только тогда, когда каждая его точка [[:glossary:topology|замкнута]]: <latex>X\in T_1\Leftrightarrow (\forall x\in X):\{x\}\in\mathcal{F}</latex>.

__Предложение 6.__ Любое [[:glossary:topology:metric|метрическое пространство]] является нормальным топологическим пространством.

__Следствие 1.__  Любое метрическое пространство удовлетворяет всем аксиомам отделимости.

===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
  * Гудков Д.А. <<Начала топологии>>, ч.2, ГГУ, 1982.
  * Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
  * Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.

{{tag>"топология" "аксиома отделимости" "колмогоровское пространство" "нормальное пространство" "окрестность точки" "регулярное пространство" "топологическое пространство" "хаусдорфово пространство"}}