====== Топологическое пространство ======
===== Топология на множестве =====
__Определение 1.__ Пусть X --- некоторое [[:glossary:set|непустое]] [[:glossary:set|множество]]. Семейство подмножеств \tau=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in\mathcal{A}\} называется **топологией на множестве** X ((topology on set)), а пара (X,\tau) называется **топологическим пространством**((topological space)), если \tau удовлетворяет следующим условиям:
- \varnothing,X\in\tau;
- объединение произвольного семейства подмножеств X , входящих в \tau, снова принадлежит \tau:\\ (\forall\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}):\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcup}U_\beta\in\tau;
- пересечение конечного семейства подмножеств X , входящих в \tau, снова принадлежит \tau:\\ (\forall U_\alpha\in\tau)(\forall U_\beta\in\tau):U_\alpha\bigcap U_\beta\in\tau.
Когда топология \tau фиксирована, топологическое пространство (X,\tau) обычно обозначается одной буквой X.
__Определение 2.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство. Подмножество U\subseteq X называется **открытым**((open subset)) в (X,\tau) или \tau-открытым, если оно принадлежит \tau. Подмножество F\subseteq X называется **замкнутым**((closed subset)) в (X,\tau), если его [[:glossary:set:algebra#операции_над_множествами|дополнение]] CF=X\backslash F --- открыто в (X,\tau).
===== Важные примеры =====
__Пример 1.__ Пусть X --- произвольное множество. Семейство подмножеств \tau_T=\{\varnothing,X\} определяет топологию на X, называемую **тривиальной топологией**((trivial topology)).
__Пример 2.__ Пусть X --- произвольное множество. Семейство подмножеств \tau_D=\mathcal{P}(X)=\{U\vert U\subseteq X\} определяет топологию на X, называемую **дискретной топологией**((discrete topology)).
__Пример 3.__ Пусть X=\mathbb{R}^n, \rho_U(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}, D_\varepsilon(a)=\{x\in\mathbb{R}^n\vert\rho_U(a,x)<\varepsilon\}. Семейство подмножеств \tau_U=\{U\subseteq\mathbb{R}^n\vert(\forall a\in U)(\exists\varepsilon>0):D_\varepsilon(a)\subseteq U\} определяет топологию на \mathbb{R}^n, называемую **обычной топологией**((usual topology)).
__Пример 4.__ Пусть X --- произвольное множество и f:X\rightarrow X --- биекция. Рассмотрим \tau_f=\{U\subseteq X\vert f(U)=U\}. Тогда (X,\tau_f) --- топологическое пространство.
__Пример 5.__ Пусть X=\{a,b\}, тогда семейство подмножеств \tau=\{\varnothing, X, \{a\}\} --- топология на X, называемая **топологией связного двоеточия**((connected two-point topology, Serpinsky topology)).
===== Сравнение топологий =====
__Определение 3.__ Пусть (X,\tau) и (X,\omega) --- топологические пространства. Говорят, что топология \tau **слабее**((weaker topology)), или **грубее**((coarser topology)) топологии \omega, если \tau\subseteq\omega. В этом случае также говорят, что \omega **сильнее**((stronger topology)), или **тоньше**((finer topology)) \tau. Если \tau\not\subseteq\omega и \omega\not\subseteq\tau, то говорят, что топологии \tau и \omega **несравнимы**((incomparable)).
__Пример 6.__
Тривиальная топология слабее любой другой топологии на этом же множестве.
__Пример 7.__
Дискретная топология сильнее любой другой топологии на этом же множестве.
===== Свойства =====
__Теорема 1.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство и \tau=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in\mathcal{A}\}. Рассмотрим совокупность всех замкнутых множеств \mathcal{F}=\{F_\alpha\vert F_\alpha=CU_\alpha,\alpha\in\mathcal{A}\}. Тогда имеют место следующие свойства:
- \varnothing,X\in\mathcal{F};
- пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто:\\ (\forall\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}):\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcap}F_\beta\in\mathcal{F};
- объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто:\\ (\forall F_\alpha\in\mathcal{F})(\forall F_\beta\in\mathcal{F}):F_\alpha\bigcup F_\beta\in\mathcal{F}.
__Теорема 2.__ Пусть X --- произвольное множество, \mathcal{F}=\{F_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in\mathcal{A}\} --- семейство подмножеств из X , удовлетворяющих условиям:
- \varnothing,X\in\mathcal{F};
- (\forall\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}):\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcap}F_\beta\in\mathcal{F};
- (\forall F_\alpha\in\mathcal{F})(\forall F_\beta\in\mathcal{F}):F_\alpha\bigcup F_\beta\in\mathcal{F}.
Тогда существует единственная топология \tau на множестве X , такая что \mathcal{F} --- семейство всех замкнутых множеств в (X,\tau).
===== См. также =====
* [[:glossary:topology:homeomorphism|Гомеоморфизм топологических пространств]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/97679/?partner=lds1938|Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.]]
* Рохлин В.А., Фукс Д.Б. <<Начальный курс топологии. Геометрические главы>>, Наука, 1977.
* Телеман К. <<Элементы топологии и дифференцируемые многообразия>>, Мир, 1967.
{{tag>"дискретная топология" "замкнутое подмножество" "обычная топология" "открытое подмножество" "топологическое пространство" "топология" "тривиальная топология"}}