====== Отражения ======
===== Отражение =====
Пусть <latex>V</latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F=\mathbb{R}</latex> или <latex>F=\mathbb{Q}</latex>.

__Определение 1.__ [[:glossary:morphism:space:linear|Эндоморфизм]] <latex>s</latex> векторного пространства <latex>V</latex> называется **отражением**((reflection)), если
  - множество <latex>H</latex> элементов пространства <latex>V</latex>, [[:glossary:polynomial:characteristic#инвариантные_подпространства|инвариантных]] относительно <latex>s</latex>, является [[:glossary:space:linear#подпространство_векторного_пространства|гиперплоскостью]] в <latex>V</latex>,
  -  <latex>s^2=1</latex>((то есть <latex>s\circ s=\textrm{id}_V</latex>)).
При этом <latex>H</latex> называется **гиперплоскостью отражения**((hyperplane of reflection)) <latex>s</latex>.

__Предложение 1.__ Отражение в <latex>V</latex> однозначно определяется заданием гиперплоскости <latex>H</latex> и вектора <latex>\alpha\in V</latex>, не лежащим в <latex>H</latex>. При этом данное отражение обозначается через <latex>s_{\alpha}</latex>.

__Предложение 2.__ Пусть <latex>\alpha^*</latex> --- элемент [[:glossary:space:linear:dual|двойственного пространства]] <latex>V^*</latex> такой, что
  - <latex>\alpha^*(H)=0</latex> и
  - <latex>\alpha^*(\alpha)=2</latex>,
тогда <latex>s_{\alpha}(x)=x-\alpha^*(x)\alpha</latex> для всех <latex>x\in V</latex>.
===== Отражения в евклидовом пространстве =====
Частным случаем отражений являются ортогональные отражения в [[:glossary:product:scalar#евклидово_пространство|евклидовом пространстве]] <latex>E</latex> со [[:glossary:product:scalar#скалярное_произведение|скалярным произведением]] <latex>(,)</latex>.

__Предложение 3.__ Каждый ненулевой вектор <latex>\alpha\in E</latex> определяет отражение <latex>s_{\alpha}</latex> с гиперплоскостью отражения <latex>H=\{\beta\in E|(\alpha,\beta)=0\}</latex> по следующей формуле: <WRAP centeralign><latex>s_{\alpha}(\beta)=\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha</latex>.</WRAP>
Введем обозначение <latex>\langle\beta,\alpha\rangle=2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}</latex>, тогда <WRAP centeralign><latex>s_{\alpha}(\beta)=\beta-\langle\beta,\alpha\rangle\alpha</latex>.</WRAP>
===== См. также =====
  * [[:glossary:system:root|Системы корней]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4327116/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней», Мир, 1972.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/100718/?partner=lds1938|Серр Ж.-П. «Алгебры Ли и группы Ли», Мир, 1969.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2128164/?partner=lds1938|Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», МЦНМО, 2003.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "евклидово пространство" "отражение"}}