====== Системы корней ======
Пусть <latex>V</latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F=\mathbb{R}</latex> или <latex>F=\mathbb{Q}</latex>.
===== Система корней =====
__Определение 1.__ Подмножество <latex>R</latex> векторного пространства <latex>V</latex> называется **системой корней**((root system)) в <latex>V</latex>, если выполнены следующие условия:
  - множество <latex>R</latex> конечно, не содержит нулевого вектора и [[:glossary:dependent:linear|порождает]] пространство <latex>V</latex>;
  - если <latex>\alpha\in R</latex>, то <latex>-\alpha\in R</latex> и [[:glossary:system:root:reflection#отражение|отражение]] <latex>s_{\alpha}</latex> переводит <latex>R</latex> в себя;
  - если <latex>\alpha,\beta\in R</latex>, то <latex>s_{\alpha}(\beta)-\beta=n\alpha</latex>, где <latex>n\in\mathbb{Z}</latex>.
Элементы множества <latex>R</latex> называются **корнями**((root)).

__Определение 2.__ Система корней называется **приведенной**, если для каждого корня <latex>\alpha\in R</latex> множество <latex>R</latex> не содержит корней, кратных <latex>\alpha</latex>, кроме <latex>\pm\alpha</latex>.

__Определение 3.__ **Рангом системы корней** называется [[:glossary:space:linear:basis|размерность]] векторного пространства <latex>V</latex>.
===== Классификация приведенных систем корней =====

===== Группа Вейля =====
__Определение 4.__ Множество <latex>\{s_{\alpha}|\alpha\in R\}</latex> [[:glossary:group#подгруппа|порождает]] подгруппу в группе <latex>GL(V)</latex> невырожденных преобразований пространства <latex>V</latex>. Данная подгруппа обозначается через <latex>W(R)</latex> и называется **группой Вейля**((Weyl group of a root system )) системы <latex>R</latex>.

__Предложение 1.__ Группа Вейля <latex>W(R)</latex> [[:glossary:morphism:group|изоморфна]] некоторой подгруппе [[:glossary:group:symmetric|симметрической группы]]. В частности, группа Вейля конечна.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4327116/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней», Мир, 1972.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/100718/?partner=lds1938|Серр Ж.-П. «Алгебры Ли и группы Ли», Мир, 1969.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2128164/?partner=lds1938|Хамфрис Дж. «Введение в теорию алгебр Ли и их представлений», МЦНМО, 2003.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "группа Вейля" "евклидово пространство" "корень" "отражение" "система корней"}}