====== Пересечение и сумма подпространств ====== проверено. нафиг тогда определение 1, если есть 1'? ===== Пересечение и сумма ===== Пусть U и W --- [[:glossary:space:linear|подпространства]] [[:glossary:space:linear|векторного пространства]] V над [[:glossary:field|полем]] F . __Предложение 1.__ [[:glossary:set:algebra|Пересечение]] U\cap W подпространств U и W является векторным пространством. __Замечание 1.__ [[:glossary:set:algebra|Объединение]] U\cup W пространств U и W не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере. __Пример 1.__ Пусть V=F^2, то есть множество векторов вида (\alpha_1,\alpha_2), где \alpha_1,\alpha_2\in F. [[:glossary:space:linear:basis|Базисом]] этого пространства служат вектора e_1=(1,0) и e_2=(0,1). Положим U_1=\langle e_1\rangle_F и U_2=\langle e_2\rangle_F --- [[:glossary:dependent:linear|линейные оболочки]] векторов e_1 и e_2, соответственно. Сумма векторов e_1+e_2 не содержится в U_1\cup U_2. __Определение 1.__ **Суммой**((sum of subspaces)) подпространств U и W называется наименьшее подпространство в V , содержащее U и W , то есть U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}. Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств: __Определение 1'.__ Сумма подпространств U_1,U_2,\ldots,U_n в V --- это наименьшее подпространство, содержащее все U_i, то есть U_1+\ldots+U_n=\{u_1+\ldots+u_n|u_i\in U_i\}. __Предложение 2.__ Пусть U и W --- подпространства [[:glossary:space:linear:basis|конечномерного]] векторного пространства V . Тогда \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W). ===== Внутренняя прямая сумма ===== __Определение 2.__ Пространство V называется **прямой суммой**((direct sum)) своих векторных подпространств U_1,U_2,\ldots,U_n, если каждый вектор v\in V может быть представлен одним и только одним способом в виде суммы v=u_1+\ldots+u_n, где u_i\in U_i. Прямая сумма векторных пространств обозначается через V=U_1\oplus U_2\oplus\ldots\oplus U_n. __Замечание 2.__ Определенная таким образом прямая сумма называется **внутренней**. __Пример 2.__ Пусть V=F^2 и подпространства U_1 и U_2 определены также, как в примере 1. Тогда сумма U_1+U_2 является прямой, то есть V=U_1\oplus U_2. __Предложение 3.__ Сумма V=U_1+\ldots+U_n является прямой тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий: - U_i\cap(U_1+\ldots+U_{i-1}+U_{i+1}+\ldots+U_n)=0 для i=1,2,\ldots,n, - \dim V=\dim U_1+\dim U_2+\ldots+\dim U_n. __Следствие 1.__ Если n=2, то сумма V=U_1+U_2 является прямой тогда и только тогда, когда U_1\cap U_2=0. __Предложение 4.__ Для любого m-[[:glossary:space:linear:basis|мерного]] подпространства U векторного пространства V размерности n найдется такое n-m-мерное подпространство W, что V=U\oplus W. __Определение 3.__ Для подпространства U векторного пространства V подпространство W из //предложения 4//, то есть такое, что V=U\oplus W, называется **дополнительным подпространством**((complementary subspace)) к U. ===== Внешняя прямая сумма ===== Пусть U и W --- векторные пространства над полем F . __Определение 4.__ **Прямой суммой** векторных пространств U и W называется [[:glossary:product:direct|декартово произведение]] V=U\times W с операциями [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] векторов и [[:glossary:space:linear|умножения их на скаляр]], определенными следующей формулой: \alpha(u,w)+\beta(u',w')=(\alpha u+\beta u',\alpha w+\beta w'). __Замечание 3.__ Определенная таким образом прямая сумма называется **внешней**. Непосредственной проверкой можно убедиться, что внешняя прямая сумма векторных пространств является векторным пространством. __Предложение 5.__ Внешняя прямая сумма U\oplus W пространств U и W обладает следующим свойством: если \varphi\colon U\rightarrow U\oplus W и \psi\colon W\rightarrow U\oplus W --- линейные отображения, определенные условиями \varphi(u)=(u,0), \psi(v)=(0,v), то U\oplus W является внутренней прямой суммой подпространств \varphi(U)=\textrm{im}~\varphi и \psi(W)=\textrm{im}~\psi. Таким образом, U\oplus W\cong\varphi(U)\oplus\psi(W). ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]] {{tag>"линейная алгебра" "векторное пространство" "пересечение подпространств" "прямая сумма" "сумма подпространств"}}