====== Линейное нормированное пространство ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====
__Определение 1.__ [[:glossary:space:linear|Линейное пространство]] <latex>V</latex> над [[:glossary:field|полем]] <latex>F=\mathbb{Q},\mathbb{R}</latex> или <latex>\mathbb{C}</latex> называется **нормированным**((normalized space)), если выполнены следующие два требования:
  - Имеется правило, посредством которого каждому элементу <latex>a\in V</latex> ставится в соответствие [[:glossary:set:real|вещественное число]], называемое **нормой**((norm)) указанного элемента и обозначаемого символом <latex>\lVert a\rVert</latex>.
  - Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
    - <latex>\lVert a\rVert\geqslant 0</latex>, причем <latex>\lVert a\rVert=0</latex> тогда и только тогда, когда <latex>a=0</latex>.
    - <latex>\lVert\lambda a\rVert=\lvert\lambda\rvert\lVert a\rVert</latex> для любых <latex>a\in V</latex> и <latex>\lambda\in F</latex>.
    - Для любых двух элементов <latex> a </latex> и <latex> b </latex> справедливо неравенство треугольника <latex>\lVert a+b\rVert\leqslant\lVert a\rVert+\lvert b\rVert</latex>.

__Предложение 1.__ Всякое [[:glossary:product:scalar#евклидово_пространство|евклидово пространство]] является нормированным, если в нем норму любого элемента <latex> a </latex> определить равенством <latex>\lVert a\rVert=\sqrt{(a,a)}</latex>.

__Пример 1.__ Рассмотрим векторное пространство <latex>\mathbb{R}^3</latex>. Число <latex>\sqrt{(a,a)}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}</latex> является нормой элемента <latex> a </latex> в <latex>\mathbb{R}^3</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "евклидово пространство" "норма" "нормированное линейное пространство"}}