====== Двойственное векторное пространство ======
===== Определение =====
Пусть <latex>V</latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex>.

__Определение 1.__ **Двойственным векторным пространством**((dual vector space)) к <latex>V</latex> называется векторное пространство [[:glossary:morphism:space:linear|линейных функционалов]] <latex>\textrm{Hom}_F(V,F)</latex>((см. [[:glossary:morphism:space:linear#свойства_линейного_отображения|предложение 5]])), то есть множество линейных функционалов <latex>\varphi\colon V\rightarrow F</latex>, с операциями [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] и [[:glossary:space:linear|умножения на скаляр]], определенными формулами:
  - <latex>(\varphi_1+\varphi_2)(v)=\varphi_1(v)+\varphi_2(v)</latex> для всех <latex>v\in V</latex>;
  - <latex>(\alpha\varphi)(v)=\alpha(\varphi(v))</latex> для всех <latex>v\in V</latex>.
Двойственное пространство к пространству <latex> V </latex> обозначают через <latex>V^*</latex>. Таким образом, <latex>V^*=\textrm{Hom}_F(V,F)</latex>.

__Замечание 1.__ Отображение <latex>V^*\times V\rightarrow F</latex> такое, что <latex>(\varphi,v)=\varphi(v)</latex> для всех <latex>\varphi\in V^*</latex> и <latex>v\in V</latex> является [[:glossary:mapping:bilinear#билинейная_форма|спариванием]] между <latex>V^*</latex> и <latex>V</latex>.
===== Двойственный базис =====
__Предложение 1.__ Пусть <latex> V </latex> --- векторное пространство [[:glossary:space:linear:basis|размерности]] <latex> n </latex> с [[:glossary:space:linear:basis|базисом]] <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex>. Тогда линейные функционалы <latex>e^1,e^2,\ldots,e^n</latex>, определенные соотношением <WRAP centeralign><latex>e^i(e_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1,\quad i=j\\0,\quad i\neq j\end{cases}</latex>,</WRAP> образуют базис <latex>V^*</latex>.

__Определение 2.__ Базис <latex>\{e^1,\ldots,e^n\}</latex> пространства <latex>V^*</latex>, указанный в формулировке предложения 1, называется **двойственным**((dual basis)) к базису <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> пространства <latex> V </latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "векторное пространство" "двойственное пространство" "двойственный базис"}}