====== Аффинное пространство ======
===== Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства =====
__Определение 1.__ n-**мерным аффинным пространством** над [[:glossary:field|полем]] F называется множество точек и векторов, удовлетворяющих следующим аксиомам:
- Существует по меньшей мере одна **точка**((Понятие точки, равно как и понятие вектора, считаются неопределяемыми.)).
- Каждой паре точек A,B, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один **вектор**, который обозначается через \overline{AB}.
- Для каждой точки A и каждого вектора x существует одна и только одна точка B такая, что \overline{AB}=x((То есть вектор \overline{AB} и вектор x --- это один и тот же вектор)).
- (Аксиома параллелограмма.) Если \overline{AB}=\overline{CD}, то \overline{AC}=\overline{BD}.
- Каждому вектору x и каждому числу \alpha\in F поставлен в соответствие определенный вектор, который обозначается \alpha x и называется произведением вектора x на число \alpha.
- 1x=x для любого вектора x .
- (\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x для всех \alpha,\beta\in F.
- \alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y для любых векторов x,y.
- \alpha(\beta x)=(\alpha\beta)x для всех \alpha,\beta\in F.
- Существует n [[:glossary:dependent:linear|линейно независимых]] векторов, но любые n+1 векторов линейно зависимы между собой.
__Пример 1.__ Трехмерное пространство \mathbb{R}^3 является аффинным пространством, где точками служат упорядоченные тройки чисел (a_1,a_2,a_3).
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4787539/?partner=lds1938|Рашевский П.К. «Риманова геометрия и тензорный анализ», ЛКИ, 2010.]]
{{tag>"линейная алгебра" "аффинное пространство" "вектор" "точка"}}