====== Множество натуральных чисел ======
<wrap hide>проверено. аксиома полной индукции...</wrap>
===== Аксиоматическое определение по Пеано =====
__Определение 1.__ Пусть заданы [[:glossary:set|множество]] <latex>\mathbb{N}</latex> и [[:glossary:mapping|отображение]] <latex>':\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</latex>, удовлетворяющие условиям:
  - [[:glossary:mapping|Область определения]] <latex>\textrm{dom}~' = \mathbb{N}</latex>,
  - Существует элемент <latex>1 \in \mathbb{N}</latex> такой, что <latex>1 \not\in \textrm{im}~'</latex>,
  - Из <latex>'x = 'y</latex> следует, что <latex>x = y</latex>,
  - **Аксиома полной индукции**: <latex>(P(1) \wedge (P(x) \Rightarrow P('x))) \Rightarrow \forall x \in \mathbb{N}: P(x)</latex>.
Тогда будем говорить, что <latex>(\mathbb{N},')</latex> --- **натуральный ряд**, а <latex>\mathbb{N}</latex> --- **множество натуральных чисел**((positive integer)).

__Пример 1.__ Реализацией натурального ряда может служить множество [[:glossary:logic:alphabet|слов]] в [[:glossary:logic:alphabet|алфавите]] из одной буквы с операцией дописывания буквы в конце слова.
===== Сложение в множестве натуральных чисел =====
__Предложение 1.__ Для каждой пары натуральных чисел <latex>x,y</latex> существует единственным образом определенное число, называемое **суммой** <latex> x </latex> и <latex> y </latex>, обозначаемое через <latex>x+y</latex> и удовлетворяющее условиям
  - <latex>'x=x+1</latex> для всех <latex>x\in\mathbb{N}</latex>,
  - <latex>x+'y='(x+y)</latex> для всех <latex>x,y\in\mathbb{N}</latex>.

__Предложение 2.__ Операция сложения <latex>+</latex> на множестве натуральных чисел обладает следующими //свойствами//:
  - ассоциативность: <latex>(x+y)+z=x+(y+z)</latex> для любых натуральных <latex>x,y,z</latex>;
  - коммутативность: <latex>x+y=y+x</latex> для любых натуральных <latex>x,y</latex>.
===== Умножение в множестве натуральных чисел =====
__Предложение 3.__ Для каждой пары натуральных чисел <latex>x,y</latex> существует единственным образом определенное число, называемое **произведением** <latex> x </latex> и <latex> y </latex>, обозначаемое через <latex>x\cdot y</latex> и удовлетворяющее условиям
  - <latex>x\cdot1=x</latex> для всех <latex>x\in\mathbb{N}</latex>,
  - <latex>x\cdot 'y=x\cdot y+x</latex> для всех <latex>x,y\in\mathbb{N}</latex>.

__Предложение 4.__ Операция умножения <latex>\cdot</latex> на множестве натуральных чисел обладает следующими //свойствами//:
  - ассоциативность: <latex>(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)</latex> для любых натуральных <latex>x,y,z</latex>;
  - коммутативность: <latex>x\cdot y=y\cdot x</latex> для любых натуральных <latex>x,y</latex>;
  - дистрибутивность: <latex>x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z</latex> для любых натуральных <latex>x,y,z</latex>.
===== Реализация натуральных чисел как подмножества действительных =====
Пусть определено [[:glossary:set:real|множество действительных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex>((с помощью аксиоматики, не опирающейся на аксиомы натуральных чисел)).

__Определение 2.__ Назовем множество <latex>X\subset\mathbb{R}</latex> **индуктивным**((inductive set)), если из того, что <latex>x\in X</latex> следует, что <latex>x+1\in X</latex>.

__Определение 3.__ **Множеством натуральных чисел** <latex>\mathbb{N}</latex> называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1.

__Предложение 5.__ Каждое натуральное число <latex>n\in\mathbb{N}</latex> можно представить как сумму конечного числа единиц 1.
===== Принцип математической индукции =====
Аксиома полной индукции ((из аксиоматики Пеано натуральных чисел)) или индуктивность множества ((в случае определения <latex>\mathbb{N}</latex> как подмножества <latex>\mathbb{R}</latex>)) позволяет применять

__Принцип математической индукции.__ Предположим, что для каждого натурального <latex>n\in\mathbb{N}</latex> имеется некоторое утверждение <latex>P(n)</latex>. Пусть утверждение <latex>P(1)</latex> верно. Предположим также, что для каждого <latex>l\in\mathbb{N}</latex> из истинности утверждения <latex>P(l)</latex> можно вывести истинность утверждения <latex>P(l+1)</latex>. Тогда утверждение <latex>P(n)</latex> истинно для каждого натурального <latex> n </latex>.

__Пример 3.__ С помощью принципа математической индукции можно доказать истинность выражения <latex>1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}</latex>. Действительно, при <latex>l=1</latex> имеем верное выражение <latex>1=\frac{1\cdot 2}{2}</latex>. Предположим, что верно выражение <latex>1+2+3+\ldots+l=\frac{l(l+1)}{2}</latex>. Добавив к обеим частям равенства <latex>l+1</latex>, получим\\
<latex>1+2+3+\ldots+l+(l+1)=\frac{l(l+1)}{2}+(l+1)</latex>, откуда следует истинность выражения\\
<latex>1+2+3+\ldots+l+(l+1)=\frac{(l+1)(l+2)}{2}</latex>. Применив принцип математической индукции, получаем, что <latex>1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}</latex> верно для любого натурального <latex> n </latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:set:integer|Множество целых чисел]]
  * [[:glossary:set:integer:rational|Множество рациональных чисел]]
  * [[:glossary:set:real|Множество действительных чисел]]
  * [[:glossary:set:complex|Множество комплексных чисел]]
===== Литература =====
  * Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
  * Ландау Э. «Основы анализа», КомКнига, 2010.

{{tag>"теория множеств" "множество натуральных чисел" "натуральный ряд" "принцип математической индукции"}}