====== Поле комплексных чисел ====== ===== Определение и свойства ===== __Определение 1.__ [[:glossary:field:extension:algebraic|Алгебраическое расширение]] [[:glossary:field|поля]] [[:glossary:set:real|действительных чисел]] \mathbb{R} с помощью элемента i , являющегося [[:glossary:polynomial:root|корнем многочлена]] T^2+1, называется **полем комплексных чисел**((Complex number)). Поле комплексных чисел обозначается через \mathbb{C}. __Предложение 1.__ Каждое [[:glossary:ring|ассоциативное коммутативное кольцо]] R [[:glossary:ring|с единицей]] и без [[:glossary:ring:element:zero-divisor|делителей нуля]], являющееся [[:glossary:space:linear:basis|двумерным]] [[:glossary:space:linear|векторным пространством]] над полем \mathbb{R}, изоморфно полю \mathbb{C}. __Теорема 1.(**Основная теорема алгебры**.)__ Поле комплексных чисел \mathbb{C} [[:glossary:field:algebraically:closed|алгебраически замкнуто]]. Ниже приведено несколько реализаций поля комплексных чисел. ===== Плоскость комплексных чисел ===== __Определение 2.__ **Полем комплексных чисел** \mathbb{C} называется множество всех упорядоченных пар действительных чисел (x,y). При этом каждая такая пара z=(x,y) называется **комплексным числом**((complex number)). Таким образом, множество комплексных чисел можно интерпретировать как точки на плоскости \mathbb{R}^2. {{ :glossary:set:c-trig.jpg?300 | Комплексная плоскость }} Определим операцию сложения комплексных чисел по правилу (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) для всех (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{C}, и определим операцию умножения: (x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1) для всех (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{C}. __Предложение 1.__ Множество (\mathbb{C},+,\cdot) является [[:glossary:field|полем]]. [[:glossary:element:groupoid:identity|Нулевым элементом]] в поле \mathbb{C} является пара (0,0), а [[:glossary:element:groupoid:identity|единичным]] --- пара (1,0). [[:glossary:element:semigroup:inverse#определение_обратного_элемента|Противоположный элемент]] для (x,y) --- это (-x,-y), а [[:glossary:element:semigroup:inverse#определение_обратного_элемента|обратным]] для ненулевого (x,y) является (\frac{x}{x^2+y^2},-\frac{y}{x^2+y^2}). ===== Алгебраическая запись ===== __Определение 3.__ Пусть i --- корень уравнения T^2+1=0. **Полем комплексных чисел** \mathbb{C} называется множество объектов вида x+yi, где x,y\in\mathbb{R}, со следующими операциями сложения и умножения: - (x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i для всех x_1+y_1i,x_2+y_2i\in\mathbb{C}; - (x_1+y_1i)\cdot(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i для всех x_1+y_1i,x_2+y_2i\in\mathbb{C}. Число i называется **мнимой единицей**((imaginary unit)). Это определение легко получается из предыдущего, если элементы (x,0) обозначать через x , а элемент (0,1) --- через i . Тогда произвольное комплексное число (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(y,0)(0,1) запишется в виде x+yi. Так как (0,1)\cdot(0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0), то мнимая единица i является корнем уравнения T^2+1=0. ===== Геометрическая интерпретация ===== __Определение 4.__ **Модулем**((modulus)) комплексного числа z=x+yi называется неотрицательное вещественное число \rho=|z|=\sqrt{x^2+y^2}, равное расстоянию от начала координат до точки (x,y) в комплексной плоскости. __Определение 5.__ **Аргументом**((argument)) комплексного числа z=x+yi называется угол \textrm{arg}~z=\varphi между положительным направлением оси абсцисс и направлением из начала координат на точку (x,y). Для числа 0=0+0i аргумент не определен. __Замечание 1.__ Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если при равных модулях аргументы отличаются на значение, кратное 2\pi, то они определяют одно и то же комплексное число. __Определение 6.__ Обозначив \begin{cases}x=\rho\cos\varphi\\y=\rho\sin\varphi\end{cases}, получим запись комплексного числа z=x+yi в виде z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi). Такая запись называется **тригонометрической формой комплексного числа**. __Предложение 2.__ Модуль произведения комплексных чисел z_1 и z_2 равен произведению модулей, а аргумент --- сумме аргументов этих чисел: - |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|, - \textrm{arg}~(z_1\cdot z_2)=\textrm{arg}~z_1+\textrm{arg}~z_2. Аналогично, - |\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}, - \textrm{arg}~\frac{z_1}{z_2}=\textrm{arg}~z_1-\textrm{arg}~z_2. __Предложение 3. (**Формула Муавра**.)__ Для всех целых n справедлива формула [\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi). __Предложение 4.__ Для любого комплексного числа z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi) существует корень n -й степени, то есть такое число z', что (z')^n=z. Все n значений корня n -й степени из z описываются формулой \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}),k=0,1,\ldots,n-1. __Следствие 1.__ Корни n -й степени из 1 выражаются формулой \sqrt[n]{1}=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n},k=0,1,\ldots,n-1. Они расположены в вершинах правильного n -угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса 1 . {{ :glossary:set:roots.jpg?300 |}} ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2180621/?partner=lds1938|Ван дер Варден Б.Л. «Алгебра», Лань, 2004.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]] {{tag>"теория множеств" "комплексное число" "мнимая единица" "основная теорема алгебры" "поле"}}