====== Полупростое артиново кольцо ====== Пусть R --- [[:glossary:ring#ассоциативное кольцо|ассоциативное кольцо]]. ===== Полупростое артиново слева кольцо ===== __Теорема 1.__ Пусть R --- [[:glossary:ring:semiprimitive|полупростое]] [[:glossary:ring:artinian#артиново слева кольцо|артиново слева]] кольцо и \rho\neq 0 --- [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|левый идеал]] в R . Тогда \rho=Re для некоторого [[:glossary:ring:element:idempotent|идемпотента]] e\in R. __Следствие 1.__ Если R --- полупростое артиново слева кольцо и A --- [[:glossary:ring:ideal|идеал]] в R , то A=Re=eR, где e --- идемпотент из центра R . __Следствие 2.__ Полупростое артиново слева кольцо имеет единицу. ===== Полупростое артиново справа кольцо ===== __Теорема 2.__ Пусть R --- [[:glossary:ring:semiprimitive|полупростое]] [[:glossary:ring:artinian#артиново справа кольцо|артиново справа]] кольцо и \rho\neq 0 --- [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|правый идеал]] в R . Тогда \rho=eR для некоторого [[:glossary:ring:element:idempotent|идемпотента]] e\in R. __Следствие 1.__ Если R --- полупростое артиново справа кольцо и A --- [[:glossary:ring:ideal|идеал]] в R , то A=Re=eR, где e --- идемпотент из центра R . __Следствие 2.__ Полупростое артиново справа кольцо имеет единицу. ===== Теорема Веддербарна-Артина ===== __Лемма 1.__ Пусть R --- полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо и A\neq 0 --- идеал в R . Тогда существует такой идеал I в R , что R=A\oplus I. __Доказательство.__ По следствию 1 существует такой центральный идемпотент e\in R, что A=Re=eR. По следствию 2 кольцо R имеет единицу. Рассмотрим I=R(1-e). Так как 1-e лежит в центре кольца R , то I --- идеал в R . Для любого x\in R выполнено тождество x=xe+x(1-e), следовательно R=A+I. Кроме того, A\cap I=0, поскольку любой элемент x из пересечения удовлетворяет условиям xe=x и xe=0.\blacksquare __Лемма 2.__ Любой идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца является полупростым артиновым слева (артинового справа) кольцом. __Лемма 3.__ Пусть A\neq 0 --- минимальный идеал полупростого артинового слева (артинового справа) кольца R . Тогда A --- [[:glossary:ring:simple|простое кольцо]]. __Теорема 3.__ Полупростое артиново слева (артиново справа) кольцо есть прямая сумма конечного числа простых артиновых слева (артиновых справа) колец. ===== Смотри также ===== ===== Литература ===== * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972. {{tag>"абстрактная алгебра" "артиново слева кольцо" "артиново справа кольцо" "ассоциативное кольцо" "полупростое кольцо" "идемпотент" "левый идеал" "правый идеал"}}