====== Первичное кольцо ======
<wrap hide>проверено. нет понятия центра</wrap>
===== Определение =====
__Определение 1.__ [[:glossary:ring|Ассоциативное кольцо]] <latex> R </latex> называется **первичным**((prime ring)), если из равенства <latex>aRb=0</latex> для некоторых элементов <latex>a,b\in R</latex> следует, что <latex>a=0</latex> или <latex>b=0</latex>.

__Предложение 1.__ Ассоциативное кольцо <latex>R</latex> первично тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одному из следующих условий:
  - [[:glossary:module:faithful|левый аннулятор]] любого ненулевого [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|левого идеала]] кольца <latex>R</latex> равен <latex>0</latex>;
  - [[:glossary:module:faithful|правый аннулятор]] любого ненулевого [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|правого идеала]] кольца <latex>R</latex> равен <latex>0</latex>;
  - если <latex>A</latex>, <latex>B</latex> --- [[glossary:ring:ideal|идеалы кольца]] <latex>R</latex> и <latex>AB=0</latex>, то либо <latex>A=0</latex>, либо <latex>B=0</latex>.

__Предложение 2.__ Любое [[:glossary:ring:primitive|примитивное слева]] ([[:glossary:ring:primitive|примитивное справа]]) кольцо первично.

__Предложение 3.__ Если <latex>a</latex> --- ненулевой элемент из центра первичного кольца <latex>R</latex>, то <latex>a</latex> не является [[:glossary:ring:element:zero-divisor|делителем нуля]] в <latex>R</latex>.

__Следствие 1.__ Центр первичного кольца является [[:glossary:ring:element:zero-divisor|областью целостности]].

__Следствие 2.__ Центр примитивного слева (примитивного справа) кольца является областью целостности.
===== Литература =====
  * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.

{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "делитель нуля" "идеал" "левый идеал" "область целостности" "первичное кольцо" "правый идеал" "примитивное слева кольцо" "примитивное справа кольцо" "центр кольца"}}