====== Кольцо многочленов ====== ===== Кольцо многочленов от одной переменной ===== Пусть A --- [[:glossary:ring|ассоциативное коммутативное кольцо с единицей]]. Рассмотрим множество бесконечных упорядоченных последовательностей (a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots), a_i\in A, в которых почти все элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Две последовательности будем складывать по правилу: (a_0,a_1,\ldots)+(b_0,b_1,\ldots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,\ldots). Умножение зададим формулой (a_0,a_1,\ldots)\cdot(b_0,b_1,\ldots)=(h_0,h_1,\ldots), где h_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j. __Предложение 1.__ Построенное множество с указанными операциями сложения и умножения является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Нулевым элементом является нулевая последовательность (0,0,\ldots), противоположным элементом для (a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots) --- элемент (-a_0,-a_1,\ldots,-a_n,\ldots), единичным элементом --- (1,0,0,\ldots). Последовательности (a_0,0,0,\ldots) при сложении и умножении ведут себя так же, как элементы a_0 кольца A, поэтому вместо (a_0,0,0,\ldots) будем писать a_0. Обозначим T=(0,1,0,0,\ldots,0,0,0,\ldots). Тогда по правилу умножения последовательностей получим T^2=(0,0,1,0,\ldots,0,0,0,\ldots) … … … T^n=(0,0,0,0,\ldots,0,1,0,\ldots). И в новых обозначениях последовательность (a_0,a_1,\ldots,a_n,0,0,\ldots) запишется в виде a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n. __Определение 1.__ Построенное кольцо будем обозначать через A[T] и называть **кольцом многочленов от одной переменной**((polynomial ring in one variable)), а его элемент a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n --- **многочленом**((polynomial)). __Определение 2.__ Элементы a_i многочлена f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n называются **коэффициентами**((coefficients)) многочлена f. __Определение 3.__ Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется **нулевым**((zero polynomial)). __Замечание 1.__ Кольцо A[T] также называют **алгеброй многочленов от одной переменной**, имея ввиду, что определено умножение многочлена a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n на скаляр a\in A по формуле a\cdot(a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n)=(aa_0)+(aa_1)T+\ldots+(aa_n)T^n, а значит, A[T] является [[glossary:algebra|алгеброй]] над кольцом A. ===== Степень многочлена ===== __Определение 4.__ Говорят, что **степень многочлена**((polynomial degree)) от одной переменной f(T)=a_0+a_1T+\ldots+a_nT^n равна n, если a_n\neq0. Коэффициент a_n при этом называют **старшим коэффициентом**((leading coefficient)).Степень многочлена f обозначают через \textrm{deg}~f. Степень нулевого многочлена полагают равной -\infty. __Определение 5.__ Многочлены небольших степеней имеют специальные названия: * многочлен степени 1 --- **линейный** многочлен * многочлен степени 2 --- **квадратичный** многочлен * многочлен степени 3 --- **кубичный** многочлен __Предложение 2.__ Для любых двух многочленов f,g\in A[T] справедливы неравенства: - \textrm{deg}~(f+g)\leqslant\max(\textrm{deg}~f,\textrm{deg}~g); - \textrm{deg}~(f\cdot g)\leqslant\textrm{deg}~f+\textrm{deg}~g; - если A [[:glossary:ring:element:zero-divisor|целостное]], то \textrm{deg}~(f\cdot g)=\textrm{deg}~f+\textrm{deg}~g. ===== Кольцо многочленов от n переменных ===== Пусть теперь A[T_1] --- кольцо многочленов от одной переменной. Применяя вышеизложенную конструкцию, можно получить кольцо A[T_1][T_2], которое обозначается через A[T_1,T_2] и называется кольцом многочленов от двух переменных. Элементы этого кольца имеют вид \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_{ij}T_1^{i}T_2^{j}. Аналогично получается кольцо многочленов от трех переменных A[T_1,T_2,T_3]=A[T_1,T_2][T_3] и т.д. __Определение 6.__ Вообще полученное таким способом кольцо A[T_1,\ldots,T_n]=A[T_1]\ldots[T_n] называется **кольцом многочленов от** n **переменных**. Элементы этого кольца --- многочлены от n переменных --- имеют вид \sum_{{i_1}=0}^{m_1}\ldots\sum_{{i_n}=0}^{m_n}a_{i_1\ldots i_n}T_1^{i_1}\ldots T_n^{i_n}. __Определение 7.__ Выражения вида T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n} называются **мономами**((monomial)). Степень монома \textrm{deg}~T_1^{i_1}T_2^{i_2}\ldots T_n^{i_n}=i_1+i_2+\ldots+i_n. **Степенью многочлена** f от n переменных называется максимальная из степенй его мономов. ===== Обобщение ===== __Определение 8.__ Пусть S --- некоторое [[:glossary:set|множество]] и \mathbb{Z}_+ --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|аддитивный]] [[:glossary:monoid|моноид]] [[:glossary:set:integer|целых чисел]], не меньших нуля. Обозначим через N\langle S\rangle множество [[:glossary:mapping|функций]] S\rightarrow\mathbb{Z}_+, которые равны нулю для почти всех((кроме конечного числа)) элементов из S. Пусть x\in S и i\in\mathbb{Z}_+, тогда через x^i будем обозначать функцию, которая принимает значение i в x и 0 в y\neq x. Если \varphi и \psi --- функции из N\langle S\rangle, то их произведение определяется формулой: (\varphi\psi)(x)=\varphi(x)+\psi(x). Тогда N\langle S\rangle будет мультипликативным моноидом, [[:glossary:element:groupoid:identity|единичным элементом]] которого служит нулевая функция. Пусть A --- [[:glossary:ring|коммутативное кольцо]], тогда можно образовать [[:glossary:algebra:monoid|моноидную алгебру]] A[N\langle S\rangle] над A, которую мы будем называть **кольцом** (или, более точно, [[:glossary:algebra|алгеброй]]) **многочленов**((polynomial ring)) от S над A и обозначать через A[S]. Элементы кольца многочленов называются **многочленами**((polynomial)). В частности, если S --- множество, состоящее из одного элемента T, то N\langle S\rangle состоит из элементов вида T^i, а A[S] --- кольцо многочленов от одной переменной. Если же S=\{T_1,\ldots,T_n\}, то получается конструкция кольца многочленов от n переменных. __Пример к обобщению.__ Пусть множество S состоит из одного элемента «ёжик» (Ej). Через \mathbb{Z}_+ обозначим множество чисел, равное всевозможному количеству иголок на ёжике, а через N --- набор всевозможных соответствий: на ёжике n иголок, которое будем обозначать как Ej^n. Если есть два таких соответствия: Ej^n и Ej^m, то под их произведением будем понимать соответствие Ej^{n+m} --- на ёжике n+m иголок. Тогда N --- мультипликативный моноид, единицей которого служит соответствие «ёжик голый», то есть без иголок. Для некоторого коммутативного кольца с единицей A cоответствующая моноидная алгебра, то есть наборы всевозможных формальных линейных комбинаций вида a_0+a_1\cdot Ej+\ldots+a_n\cdot Ej^n --- это кольцо многочленов A[Ej] от переменной «ёжик». Этот пример должен лишний раз демонстрировать, что производная многочлена в смысле математического анализа (предел отношения приращения функции к приращению аргумента) не может быть определена. ===== См. также ===== * [[:glossary:polynomial:division|Деление многочленов]] * [[:glossary:polynomial:root|Корень многочлена]] ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]] {{tag>"абстрактная алгебра" "алгебра многочленов" "кольцо многочленов" "многочлен" "нулевой многочлен" "степень многочлена"}}