====== Нетерово кольцо ======
===== Нетерово слева кольцо =====
Пусть R --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]].
__Определение 1.__ Кольцо R называется **нетеровым слева**((left noetherian)), если любое непустое множество его [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|левых идеалов]] имеет [[:glossary:set:ordered:partially|максимальный элемент]].
__Предложение 1.__ Кольцо R является нетеровым слева тогда и только тогда, когда множество его левых идеалов удовлетворяет [[:glossary:induction:transfinite#условие_обрыва_возрастающих_цепочек|условию обрыва возрастающих цепочек]]: любая возрастающая цепочка левых идеалов \rho_1\subseteq\rho_2\subseteq\ldots\subseteq\rho_m\subseteq\ldots обрывается, то есть (\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m.
__Теорема 1.__ Если кольцо R нетерово слева, то любой его [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|ниль-идеал]] (левый, правый или двусторонний) [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|нильпотентен]].
===== Нетерово справа кольцо =====
Пусть R --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]].
__Определение 1.__ Кольцо R называется **нетеровым справа**((right noetherian)), если любое непустое множество его [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|правых идеалов]] имеет максимальный элемент.
__Предложение 1.__ Кольцо R является нетеровым справа тогда и только тогда, когда множество его правых идеалов удовлетворяет [[:glossary:induction:transfinite#условие_обрыва_возрастающих_цепочек|условию обрыва возрастающих цепочек]]: любая возрастающая цепочка правых идеалов \rho_1\subseteq\rho_2\subseteq\ldots\subseteq\rho_m\subseteq\ldots обрывается, то есть (\exists m\in\mathbb{Z}_+)(\forall i\geqslant m):\rho_i=\rho_m.
__Теорема 1.__ Если кольцо R нетерово справа, то любой его ниль-идеал (левый, правый или двусторонний) нильпотентен.
===== Нетерово кольцо =====
__Определение 1.__ Кольцо называется **нетеровым**((noetherian)), если оно одновременно нетерово слева и нетерово справа.
__Пример 1.__ Пусть A --- нетерова [[:glossary:ring|коммутативная]] [[:glossary:ring:element:zero-divisor|область целостности]], не являющаяся [[:glossary:field|полем]] и пусть F=\mathbb{Q}(A) --- [[:glossary:field:quotient|поле частных]] для A . Рассмотрим кольцо R , образованное [[:glossary:matrix|матрицами]] вида \begin{pmatrix}x&\alpha\\0&\beta\end{pmatrix}, где x\in A и \alpha,\beta\in F. Тогда кольцо R нетерово справа, но не нетерово слева.
__Пример 2.__ Любое поле нетерово.
__Пример 3.__ [[:glossary:set:integer|Кольцо целых чисел]] \mathbb{Z} нетерово.
===== Литература =====
* Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.
{{tag>"абстрактная алгебра" "нетерово кольцо" "ассоциативное кольцо" "идеал кольца" "условие обрыва возрастающих цепочек"}}