====== Кольцо Ли======
===== Описание =====
__Определение 1.__ **Кольцом Ли**((Lie ring)) <latex>(R,+,\cdot)</latex> будем называть [[:glossary:ring|кольцо]], в котором [[:glossary:operation:binary:algebraic|операция]] умножения антикоммутативна и удовлетворяет тождеству Якоби. Иными словами, операции сложения <latex>+</latex> и умножения <latex>\cdot</latex> кольца Ли удовлетворяют следующим аксиомам:
  - [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативность]] сложения: <latex>(a+b)+c=a+(b+c)</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>;
  - существует [[:glossary:element:groupoid:identity|нулевой элемент]] <latex>0\in R</latex> такой, что <latex>a+0=0+a=a</latex> для всех <latex>a\in R</latex>;
  - для всех <latex>a\in R</latex> существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|противоположный элемент]] элемент <latex>-a\in R</latex> такой, что <latex>-a+a=a+(-a)=0</latex>;
  - [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативность]] сложения: <latex>a+b=b+a</latex> для всех <latex>a,b\in R</latex>;
  - дистрибутивность:
    - <latex>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>;
    - <latex>(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>;
  - <latex>a\cdot a=0</latex> для всех <latex>a\in R</latex>;
  - **тождество Якоби**: <latex>a\cdot(b\cdot c)+b\cdot(c\cdot a)+c\cdot(a\cdot b)=0</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>.

__Замечание 1.__ Из условия <latex>a\cdot a=0</latex> следует условие **антикоммутативности**: <WRAP centeralign><latex>a\cdot b=-b\cdot a</latex> для всех <latex>a,b\in R</latex>.</WRAP>
Более того, если в абелевой группе кольца нет элементов порядка 2, то условие <latex>a\cdot a=0</latex> эквивалентно условию <latex>a\cdot b=-b\cdot a</latex>.


__Пример 1.__ Пусть <latex>(R,+,\cdot)</latex> --- произвольное [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]]. Зададим на <latex>R</latex> новую операцию умножения <latex>[a,b]=a\cdot b-b\cdot a</latex>, тогда <latex>(R,+,[])</latex> --- кольцо Ли.

__Пример 2.__ [[glossary:algebra:lie|Алгебра Ли]] <latex>L</latex> над кольцом <latex>R</latex> является кольцом Ли с дополнительной структурой [[glossary:module#левый_модуль|левого ]]<latex>R</latex>[[glossary:module#левый_модуль|-модуля]].

<wrap hide>__Предложение 1.__ Для каждого кольца Ли <latex>R</latex> существует такое ассоциативное кольцо <latex>A</latex>, что <latex>R</latex> изоморфно подкольцу <latex>A</latex> с операцией умножения <latex>[,]</latex>, определенной формулой <latex>[a,b]=a\cdot b-b\cdot a</latex>.</wrap>
===== См. также =====
  * [[glossary:algebra:lie|Алгебра Ли]]
===== Литература =====
  * Фейс К. «Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1», Мир, 1977.
  * Холл М. «Теория групп», Иностранная литература, 1962.

{{tag>"абстрактная алгебра" "антикоммутативность" "кольцо" "кольцо Ли" "тождество Якоби"}}