====== Радикальный идеал ======
проверено
===== Определение =====
Пусть R --- [[:glossary:ring|ассоциативное коммутативное кольцо с единицей]].
__Определение 1.__ Пусть I --- [[:glossary:ring:commutative:ideal|идеал]] кольца R. **Радикалом идеала**((radical of ideal)) I называется множество \sqrt{I}=\{r\in R\vert\exists n\geqslant 0:r^n\in I\}.
__Предложение 1.__ Пусть I --- идеал кольца R. Радикал идеала \sqrt{I} обладает следующими свойствами:
- \sqrt{I} --- идеал в R;
- I\subseteq\sqrt{I};
- \sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}.
__Пример 1.__ Пусть R=F[T] --- [[:glossary:ring:polynomial|кольцо многочленов от одной переменной]]. Радикал идеала (T^2) равен \sqrt{(T^2)}=(T).
__Определение 2.__ Идеал I кольца R, совпадающий со своим радикалом \sqrt{I} называется **радикальным идеалом**((radical ideal)).
__Пример 2.__ Пусть R=F[T] --- кольцо многочленов от одной переменной. Идеал (T) является радикальным.
===== Литература =====
* Зарисский О., Самюэль П. «Коммутативная алгебра», Иностранная литература, 1963.
{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное коммутативное кольцо с единицей" "идеал" "радикал идеала" "радикальный идеал"}}