====== Квазирегулярный идеал ======
===== Квазирегулярные элементы =====
Пусть R --- [[:glossary:ring#ассоциативное_кольцо|ассоциативное кольцо]] и a\in R --- некоторый его элемент.
__Определение 1.__ Элемент a\in R называется **лево-квазирегулярным**((left quasi-regular)), если существует такой элемент a'\in R, что a+a'+a'a=0. Элемент a' называется **левым квазиобратным**((left quasi-inverse)) для a.
__Определение 2.__ Элемент a\in R называется **право-квазирегулярным**((right quasi-regular)), если существует такой элемент a'\in R, что a+a'+aa'=0. Элемент a' называется **правым квазиобратным**((right quasi-inverse)) для a.
__Предложение 1.__ Пусть элемент a\in R лево-квазирегуляный с левым квазиобратным x и право-квазирегулярный с правым квазиобратным y. Тогда x=y.
Из соотношений a+x+xa=0 и a+y+ay=0 следует, что ay+xy+xay=0 и xa+xy+xay=0, откуда xa=ay. Так как a+x+xa=a+y+ay, то x=y.
\blacksquare
__Определение 3.__ Элемент a\in R называется **квазирегулярным**((quasi-regular)), если он одновременно лево-квазирегулярный и право-квазирегулярный. Элемент a', совпадающий((по предложению 1)) с его левым и правым квазиобратными, называется **квазиобратным**((quasi-inverse)) для a.
__Предложение 2.__ Пусть кольцо R имеет [[:glossary:element:groupoid:identity|единицу]], тогда
- элемент a\in R лево-квазирегулярен тогда и только тогда, когда 1+a [[:glossary:element:semigroup:inverse#определение_обратного_элемента|обратим]] слева в R;
- элемент a\in R право-квазирегулярен тогда и только тогда, когда 1+a обратим справа в R;
- элемент a\in R квазирегулярен тогда и только тогда, когда 1+a обратим в R.
В кольце с единицей соотношения a+a'+a'a=0 и a+a'+aa'=0 можно перегруппировать так, чтобы (a'+1)(a+1)=1 и (a+1)(a'+1)=1, соответственно, что доказывает предложение.
\blacksquare
===== Квазирегулярные идеалы =====
__Определение 4.__ Идеал (левый, правый, двусторонний) называется **лево-квазирегулярным**, если таким является каждый его элемент.
__Определение 5.__ Идеал (левый, правый, двусторонний) называется **право-квазирегулярным**, если таким является каждый его элемент.
__Определение 6.__ Идеал (левый, правый, двусторонний) называется **квазирегулярным**, если таким является каждый его элемент.
__Предложение 3.__ Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный.
Пусть \rho --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца R, и x\in\rho, тогда x+a+ax=0 для некоторого a\in R. Заметим, что a\in\rho, так как x,ax\in\rho. Поэтому y+a+ya=0 для некоторого y\in R. Мы видим, что x --- правый квазиобратный, а y --- левый квазиобратный для элемента a. По предложению 1 они совпадают, то есть y=x, и x+a+xa=0. Таким образом x --- право-квазирегулярный, а значит, квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора x\in\rho лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным.
\blacksquare
__Предложение 4.__ Если правый идеал право-квазирегулярный, то он квазирегулярный.
===== См. также =====
* [[:glossary:ring:radical:jacobson|Радикал Джекобсона]]
===== Литература =====
* Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.
{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "квазирегулярный идеал" "квазиобратный элемент" "квазирегулярный элемент" "лево-квазирегулярный идеал" "лево-квазирегулярный элемент" "левый квазиобратный элемент" "право-квазирегулярный идеал" "право-квазирегулярный элемент" "правый квазиобратный элемент"}}