====== Ассоциированные простые идеалы ======
проверено
===== Определение =====
Пусть R --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]], и M --- [[:glossary:module#левый_модуль|левый модуль]] над R.
__Определение 1.__ Говорят, что [[:glossary:ring:commutative:ideal:prime|простой идеал]] \rho\subset R **ассоциирован**((associated with)) с M, если существует такой элемент x\in M, что \rho=\textrm{Ann}_R(\{x\})=\{r\in R|rx=0\}. Через \textrm{Ass}_R(M) обозначается множество простых идеалов, ассоциированных с модулем M.
__Пример 1.__ Пусть R=\mathbb{C}[X_1,\ldots,X_n] --- [[:glossary:ring:polynomial#кольцо_многочленов_от_n_переменных|кольцо многочленов]], \rho --- [[:glossary:ring:commutative:ideal|идеал]] в R , V --- [[:glossary:set:algebraic:affine|аффинное алгебраическое множество]], соответствующее идеалу \rho, V_1,\ldots,V_p --- [[:glossary:set:algebraic:affine|неприводимые компоненты]] V . Положим M=R/\rho --- [[:glossary:set:algebraic:affine|аффинное координатное кольцо]] V , тогда простые идеалы, ассоциированные с модулем M --- это идеалы неприводимых компонент V_1,\ldots,V_p.
__Предложение 1.__ Для любого простого идеала \rho кольца R и любого нетривиального подмодуля M модуля R/\rho имеет место равенство \textrm{Ass}_R(M)=\{\rho\}.
Пусть 0\neq\overline{x}\in M, то есть \overline{x}=x\rho --- смежный класс по идеалу \rho, x\not\in\rho. Очевидно, что \rho\overline{x}=0.
Предположим, что r\overline{x}=0. Это означает, что rx\in\rho. Тогда из простоты \rho следует, что r\in\rho. Таким образом, единственный простой идеал, ассоциированный с M --- это \rho.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4327109/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Коммутативная алгебра», Мир, 1971.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "простой идеал"}}