====== Идеал кольца ======
===== Левый идеал =====
__Определение 1.__ [[:glossary:set|Подмножество]] \rho [[:glossary:ring|кольца]] R называется **левым идеалом**((left ideal)), если (\rho,+) является [[:glossary:group|подгруппой]] (R,+) и \rho является подмодулем R, рассматриваемого как [[:glossary:module#левый_модуль|левый модуль]] над собой, то есть выполнено условие
ar\in\rho для всех a\in R и r\in\rho.
__Пример 1.__ Пусть R --- кольцо, и a\in R. Тогда Ra=\{r\cdot a|r\in R\} --- левый идеал в R. Такой идеал называется **главным левым идеалом**((principal left ideal)) кольца.
__Определение 2.__ Левый идеал \rho кольца R называется **собственным**((proper ideal)), если 0\subsetneqq\rho\subsetneqq R.
__Определение 3.__ Левый идеал \rho кольца R называется **максимальным**((maximal ideal)), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном левом идеале \alpha, то есть \nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R.
__Определение 4.__ Левый идеал \rho кольца R называется **регулярным**((regular ideal)), или **модулярным**((modular ideal)), если существует такой элемент a\in R, что x-xa\in\rho для всех x\in R.
__Пример 2.__ В любом [[:glossary:ring|ассоциативном кольце с единицей]] R каждый его левый идеал \rho является регулярным, так как x-x\cdot 1=0\in\rho.
__Определение 5.__ Если \rho --- левый идеал в R, то объект (\rho:R)=\{x\in R\vert xR\subseteq\rho\} называется **частным**.
__Предложение 1.__ Если \rho --- регулярный левый идеал кольца R, то \rho можно вложить в максимальный левый идеал, который также регулярен.
__Предложение 2.__ Пусть \rho --- максимальный левый идеал в R. Предположим, что он регулярен и M=R/\rho -- соответствующий ему [[:glossary:module:irreducible|неприводимый левый модуль]]. Тогда [[:glossary:module:faithful|аннулятор]] A(M) модуля M совпадает с (\rho:R) и является наибольшим двусторонним идеалом R, лежащим в \rho.
===== Правый идеал =====
__Определение 1.__ [[:glossary:set|Подмножество]] \rho [[:glossary:ring|кольца]] R называется **правым идеалом**((right ideal)), если (\rho,+) является подгруппой (R,+) и \rho является подмодулем R, рассматриваемого как [[:glossary:module#правый_модуль|правый модуль]] над собой, то есть выполнено условие
ra\in\rho для всех и r\in\rho.
__Пример 1.__ Пусть R --- кольцо, и a\in R. Тогда aR=\{a\cdot r|r\in R\} --- правый идеал в R. Такой идеал называется **главным правым идеалом**((principal right ideal)) кольца.
__Определение 2.__ Правый идеал \rho кольца R называется **собственным**((proper ideal)), если 0\subsetneqq\rho\subsetneqq R.
__Определение 3.__ Правый идеал \rho кольца R называется **максимальным**((maximal ideal)), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном правом идеале \alpha, то есть \nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R.
__Определение 4.__ Правый идеал \rho кольца R называется **регулярным**((regular ideal)), или **модулярным**((modular ideal)), если существует такой элемент a\in R, что x-ax\in\rho для всех x\in R.
__Пример 2.__ В любом [[:glossary:ring|ассоциативном кольце с единицей]] R каждый его правый идеал \rho является регулярным, так как x-1\cdot x=0\in\rho.
__Определение 5.__ Если \rho --- правый идеал в R, то положим (\rho:R)=\{x\in R\vert Rx\subseteq\rho\}.
__Предложение 1.__ Если \rho --- регулярный правый идеал кольца R, то \rho можно вложить в максимальный правый идеал, который также регулярен.
__Предложение 2.__ Пусть \rho --- максимальный правый идеал в R. Предположим, что он регулярен и M=R/\rho -- соответствующий ему [[:glossary:module:irreducible|неприводимый правый модуль]]. Тогда [[:glossary:module:faithful|аннулятор]] A(M) модуля M совпадает с (\rho:R) и является наибольшим двусторонним идеалом R, лежащим в \rho.
===== Двусторонний идеал =====
__Определение 1.__ [[:glossary:set|Подмножество]] \rho [[:glossary:ring|кольца]] R называется **двусторонним идеалом**, или просто **идеалом**((ideal)), если \rho является одновременно левым и правым идеалом кольца R . В коммутативном кольце любой идеал, то есть левый, правый или двусторонний, называют просто **идеалом**, так как в коммутативных кольцах эти понятия совпадают.
__Определение 2.__ Идеал \rho кольца R называется **собственным**((proper ideal)), если 0\subsetneqq\rho\subsetneqq R.
__Пример 1.__ Любой [[:glossary:ring:commutative:ideal|идеал в коммутативном кольце]] двусторонний.
__Определение 3.__ Идеал \rho кольца R называется **максимальным**((maximal ideal)), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном идеале \alpha, то есть \nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R.
===== См. также =====
* [[:glossary:ring:commutative:ideal|Идеал в коммутативном кольце]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423445/?partner=lds1938|Ламбек И. «Кольца и модули», Факториал, 2005.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "главный левый идеал" "двусторонний идеал" "идеал" "кольцо" "левый идеал" "максимальный идеал" "модулярный идеал" "правый идеал" "регулярный идеал" "собственный идеал"}}