====== Тело ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ Тройка <latex>(R,+,\cdot)</latex>, состоящая из [[:glossary:set|множества]] <latex> R </latex> и операций [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] <latex> + </latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] <latex>\cdot</latex> называется **телом**((skew field)), или **кольцом с делением**((division ring)) если:
  - [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативность]] сложения: <latex>(a+b)+c=a+(b+c)</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>;
  - существует [[:glossary:element:groupoid:identity|нулевой элемент]] <latex>0\in R</latex> такой, что <latex>a+0=0+a=a</latex> для всех <latex>a\in R</latex>;
  - для всех <latex>a\in R</latex> существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|противоположный элемент]] <latex>-a\in R</latex> такой, что <latex>-a+a=a+(-a)=0</latex>;
  - [[:glossary:operation:binary:algebraic|коммутативность]] сложения: <latex>a+b=b+a</latex> для всех <latex>a,b\in R</latex>;
  - ассоциативность умножения: <latex>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>;
  - существует [[:glossary:element:groupoid:identity|единичный элемент]] <latex>1\in R</latex> такой, что <latex>a\cdot 1=1\cdot a=a</latex> для всех <latex>a\in R</latex>. При этом обычно требуют, чтобы <latex>0\neq 1</latex>;
  - для всех ненулевых <latex>a\in R</latex> существует [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратный элемент]] <latex>a^{-1}\in R</latex> такой, что <latex>a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1</latex>;
  - дистрибутивность:
    - <latex>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>;
    - <latex>(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c</latex> для всех <latex>a,b,c\in R</latex>.
Таким образом, тело  --- это [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо с единицей]] отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обладает [[:glossary:element:semigroup:inverse|обратным]] относительно [[:glossary:operation:binary:algebraic|операции]] умножения.


__Пример 1.__ Любое [[:glossary:field|поле]] является телом.

__Пример 2.__ Пусть <latex>K</latex> порождается над [[:glossary:field|полем]] [[:glossary:set:real|вещественных чисел]] <latex>\mathbb{R}</latex> элементами <latex>i,j,k</latex> такими, что выполнены соотношения <WRAP centeralign><latex>i^2=j^2=k^2=-1</latex> и <latex>ij=-ji=k</latex>, <latex>jk=-kj=i</latex>, <latex>ki=-ik=j</latex>.</WRAP> Тогда <latex>K</latex> является телом и называется **телом кватернионов**.
===== См. также =====
  * [[:glossary:field|Поле]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "кольцо с делением" "тело" "тело кватернионов"}}