====== Кольцо частных ======
===== Мультипликативно замкнутое подмножество =====
Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring|коммутативное ассоциативное кольцо с единицей]].

__Определение 1.__ **Мультипликативно замкнутым подмножеством** кольца <latex>A</latex> будем называть подмножество <latex>S\subset A</latex>, удовлетворяющее условиям
  - <latex>1\in S</latex>;
  - <latex>x\cdot y\in S</latex> для любых <latex>x,y\in S</latex>.
===== Кольцо частных =====
Пусть <latex>S</latex> --- мультипликативно заданное подмножество кольца <latex>A</latex>.

__Определение 1.__ На множестве упорядоченных пар <latex>A\times S=\{(a,s)|a\in A,s\in S\}</latex> определено отношение эквивалентности:  две упорядоченные пары <latex>(a,s)</latex> и <latex>(a',s')</latex> считаются эквивалентными, если <latex>t(as'-a's)=0</latex> для некоторого <latex>t\in S</latex>. Класс эквивалентности пары <latex>(a,s)</latex> обозначается через <latex>\dfrac{a}{s}</latex>, а множество [[:glossary:relation:equivalence|классов эквивалентности]] на <latex>A\times S</latex> --- через <latex>S^{-1}A</latex>. Следующие формулы задают на <latex>S^{-1}A</latex> корректно определенные операции [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|сложения]] <latex>+</latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic#группоид|умножения]] <latex>\cdot</latex>:
  - <latex>\dfrac{a}{s}\cdot\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{aa'}{ss'}}</latex>,
  - <latex>\dfrac{a}{s}+\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{as'+a's}{ss'}</latex>.
Относительно этих операций множество <latex>S^{-1}A</latex> является коммутативным ассоциативным кольцом с [[:glossary:element:groupoid:identity|единицей]] <latex>\dfrac{1}{1}</latex>. [[:glossary:element:groupoid:identity|Нулевой элемент]] этого кольца равен <latex>\dfrac{0}{1}</latex>, [[:glossary:element:semigroup:inverse|противоположный]] для <latex>\dfrac{a}{s}</latex> равен <latex>\dfrac{-a}{s}</latex>. Кольцо <latex>S^{-1}A</latex> называется **кольцом частных** кольца <latex>A</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>A</latex> --- [[:glossary:ring:element:zero-divisor|область целостности]], тогда <latex>S=A^*</latex> --- мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае кольцо частных <latex>S^{-1}A</latex> является [[:glossary:field|полем]], и называется [[:glossary:field:quotient|полем частных]] кольца <latex>A</latex>.
===== Локализация =====
__Пример 2.__ Пусть <latex>\mathfrak{p}</latex> --- [[:glossary:ring:commutative:ideal:prime|простой идеал]] кольца <latex>A</latex>. Тогда <latex>S=A\backslash\mathfrak{p}</latex> --- мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае <latex>S^{-1}A</latex> обозначается через <latex>A_{\mathfrak{p}}</latex>, состоит из элементов <latex>\dfrac{a}{s}</latex>, где <latex>s\not\in\mathfrak{p}</latex> и называется **локальным кольцом кольца**((local ring))((см. определение [[:glossary:ring:commutative:local|локального кольца]])) <latex>A</latex>. Процесс перехода от <latex>A</latex> к <latex>A_{\mathfrak{p}}</latex> называется **локализацией**((localization)) относительно <latex>\mathfrak{p}</latex>.
===== Универсальное свойство =====
Пусть <latex>S</latex> --- мультипликативно заданное подмножество кольца <latex>A</latex>. Через <latex>\varphi_S</latex> обозначим [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизм колец]] <latex>\varphi_S\colon A\rightarrow S^{-1}A\colon a\mapsto\dfrac{a}{1}</latex>.

__Предложение 1.__ Для произвольного коммутативного ассоциативного кольца с единицей <latex>B</latex> и гомоморфизма <latex>\alpha\colon A\rightarrow B</latex>, удовлетворяющего условию <latex>\alpha(s)</latex> [[:glossary:element:semigroup:inverse#определение_обратного_элемента|обратим]] в <latex>B</latex> для любого <latex>s\in S</latex>, существует единственный гомоморфизм колец <latex>\beta\colon S^{-1}A\rightarrow B</latex> такой, что <latex>\alpha=\beta\circ\varphi_S</latex>, то есть коммутативна диаграмма <WRAP centeralign><latex>\begin{diagram}\node{A}\arrow{se,b}{\alpha}\arrow[2]{e,t}{\varphi_S}\node[2]{S^{-1}A}\arrow{sw,b}{\beta}\\\node[2]{B}\end{diagram}</latex>.</WRAP> Гомоморфизм <latex>\beta</latex> задается формулой <latex>\beta(\frac{a}{s})=\alpha(a)\alpha(s)^{-1}</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:field:quotient|Поле частных целостного кольца]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3249529/?partner=lds1938|Атья М., Макдональд И. «Коммутативная алгебра», Факториал, 2003.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "кольцо частных" "локализация" "локальное кольцо" "мультипликативно замкнутое подмножество"}}