====== Бинарное отношение ======
===== Определение =====
__Определение 1.__ **Бинарным отношением**((binary relation)) между [[:glossary:set|множествами]] A и B называется любое [[:glossary:set|подмножество]] \rho [[:glossary:product:direct|прямого произведения]] A \times B. Часто чтобы обозначить принадлежность упорядоченной пары (x,y) к бинарному отношению \rho вместо записи (x,y)\in\rho используют обозначения \rho(x,y) или x\rho y. При этом говорят, что x находится в отношении \rho к y .
Если A=B, то говорят, что \rho задано на множестве A .
__Пример 1.__ Пусть A=\{a,b,c,d,e,f,g,h\} и B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}. Тогда подмножество \{(a,2),(c,3),(d,5)\} в A\times B является бинарным отношением между множествами A и B
__Пример 2.__ На множестве [[:glossary:set:integer|целых чисел]] \mathbb{Z} отношение делимости, состоящее из упорядоченных пар (m,n), в которых m делится на n , является бинарным отношением. В этом случае обозначение m\rho n заменяется на m\vdots n.
__Пример 3.__ На множестве [[:glossary:set:real|действительных чисел]] \mathbb{R} упорядочение \leqslant является бинарным отношением на \mathbb{R}, состоящим из всех точек плоскости \mathbb{R}^2, лежащих не ниже прямой x-y=0.
{{ :glossary:relation:rel_lesseq.jpg |≤}}
__Пример 4.__ Для [[:glossary:mapping|функции]] f:X\rightarrow Y ее график \Gamma(f)=\{(x,y)\vert y=f(x),x\in X\} является бинарным отношением между X и Y .
===== Свойства бинарного отношения на множестве =====
__Определение 2.__ Говорят, что бинарное отношение \rho на множестве A обладает свойством **рефлексивности**((reflexive property)), если (x,x)\in\rho для всех x\in A.
__Определение 3.__ Говорят, что бинарное отношение \rho на множестве A обладает свойством **антирефлексивности**((irreflexive property)), если (x,x)\not\in\rho для всех x\in A.
__Определение 4.__ Говорят, что бинарное отношение \rho на множестве A обладает свойством **симметричности**((symmetric property)), если (x,y)\in\rho влечет за собой (y,x)\in\rho для всех x,y\in A.
__Определение 5.__ Говорят, что бинарное отношение \rho на множестве A обладает свойством **антисимметричности**((antisymmetric property)), если (x,y)\in\rho, x\neq y, влечет за собой (y,x)\not\in\rho для всех x,y\in A.
__Определение 6.__ Говорят, что бинарное отношение \rho на множестве A обладает свойством **транзитивности**((transitive property)), если (x,y)\in\rho и (y,z)\in\rho влечет за собой (x,z)\in\rho для всех x,y,z\in A.
__Определение 7.__ Говорят, что бинарное отношение \rho на множестве A обладает свойством **связанности**((total property)), если (x,y)\in\rho или (y,x)\in\rho для всех x,y\in A.
__Пример 5.__ Отношение делимости целых чисел из __примера 2__ является
* рефлексивным: любое целое число m делится на себя, то есть m\vdots m;
* транзитивным: если m делится на n , а n делится на k , то m делится на k .
__Пример 6.__ Отношение порядка \leqslant из __примера 3__ обладает свойствами
* рефлексивности;
* транзитивности;
* антисимметричности;
* связанности.
===== Виды бинарных отношений =====
Отдельно выделяются бинарные отношения, обладающие <<хорошим>> набором свойств:
* [[:glossary:relation:order#отношение_линейного_порядка|Отношение линейного порядка]]
* [[:glossary:relation:order#отношение_частичного_порядка|Отношение частичного порядка]]
* [[:glossary:relation:equivalence|Отношение эквивалентности]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4827500/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Теория множеств», Либроком, 2010.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
{{tag>"теория множеств" "антирефлексивность" "антисимметричность" "бинарное отношение" "множество" "отображение" "прямое произведение" "рефлексивность" "связанность" "симметричность" "транзитивность"}}