====== Скалярное произведение ======
<wrap hide>проверено. буква E смотрится странно</wrap>
===== Скалярное произведение =====
__Определение 1.__ Пусть <latex> V </latex> --- [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F=\mathbb{Q}</latex> или <latex>F=\mathbb{R}</latex>. [[:glossary:mapping:bilinear|Билинейная форма]] <latex>\varphi\colon V\times V\rightarrow F</latex> называется **скалярным произведением**((scalar product)), если выполнены условия:
  - Симметричность: <latex>\varphi(x,y)=\varphi(y,x)</latex> для всех <latex>x,y\in V</latex>;
  - Положительная определенность: <latex>\varphi(x,x)\geqslant 0</latex> для всех <latex>x\in V</latex>, и обращается в нуль, лишь если <latex>x=0</latex>.

Часто для скалярного произведения векторов <latex> x </latex> и <latex> y </latex> вместо <latex>\phi(x,y)</latex> используют обозначение <latex>(x,y)</latex> или <latex>x\cdot y</latex>.

__Пример 1.__ На пространстве [[:glossary:topology:mapping:continuous|непрерывных функций]] <latex>C^0[a,b]</latex> можно задать скалярное произведение <latex>(f,g)=\int_{a}^{b}f(x)g(x)\textrm{d}x</latex>.

__Пример 2.__ На пространстве <latex>\mathbb{R}^n</latex> скалярное произведение задается формулой: <latex>(x,y)=x_1y_1+\ldots+x_ny_n</latex>, где <latex>x=(x_1,\ldots,x_n)</latex> и <latex>y=(y_1,\ldots,y_n)</latex> --- разложение векторов по стандартному базису <latex>e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)</latex>.
===== Евклидово пространство =====
__Определение 2.__ **Евклидовым векторным пространством**((Euclidean space)) называется векторное пространство над полем <latex>\mathbb{R}</latex> с фиксированным скалярным произведением <latex>(,)</latex>.

__Пример 3.__ Пространство <latex>\mathbb{R}^n</latex> является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2.

__Определение 3.__ Пусть <latex> E </latex> --- евклидово пространство. Для любого <latex>v\in E</latex> число <latex>\lVert v\rVert=\sqrt{(v,v)}</latex> называется **длиной**, или **нормой** вектора <latex> v </latex>.

__Предложение 1 (**Неравенство Коши-Буняковского**).__ Для произвольных векторов <latex>x,y</latex> из евклидова пространства <latex> E </latex> справедливо неравенство\\ <latex>|(x,y)|\leqslant \lVert x\rVert\cdot\lVert y\rVert</latex>.

__Пример 4.__ В случае, когда евклидово пространство --- это пространство непрерывных на отрезке <latex>[a,b]</latex> вещественнозначных функций((См. пример 1.)), неравенство Коши-Буняковского имеет вид\\ <latex>|\int_{a}^{b}f(x)g(x)\textrm{d}x|\leqslant\sqrt{\int_{a}^{b}f^2(x)\textrm{d}x}\cdot\sqrt{\int_{a}^{b}g^2(x)\textrm{d}x}</latex>.

__Определение 4.__ Векторы <latex>x,y</latex> из евклидова пространства <latex> E </latex> называются **ортогональными**((orthogonal vectors)), если <latex>(x,y)=0</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:space:linear:normalized|Линейное нормированное пространство]]
  * [[:glossary:geometry:elementary:product:scalar|Скалярное произведение векторов в пространстве]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4882705/?partner=lds1938|Гельфанд И.М. «Лекции по линейной алгебре», МЦНМО, 1998.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"линейная алгебра" "векторное пространство" "длина вектора" "евклидово пространство" "неравенство коши-буняковского" "норма вектора" "скалярное произведение"}}