====== Прямое произведение множеств======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====
__Определение 1.__ **Прямым произведением**((direct product)), или **декартовым произведением**((Cartesian product)) <latex>A \times B</latex> [[:glossary:set|множеств]] <latex>A </latex> и <latex>B </latex> называется множество всех упорядоченных пар <latex>(x,y)</latex> таких, что <latex>x \in A</latex> и <latex>y \in B</latex>. При этом используют следующее обозначение: <latex>A \times B = \{ (a,b) \vert a \in A, b \in B\}</latex>

__Пример 1.__
  * Прямое произведение окружности и прямой --- это цилиндр: <latex>S^1 \times \mathbb{R}^1</latex>;
{{ :glossary:product:rs.jpg?200 |RxS}}
  * Прямое произведение двух прямых --- это плоскость: <latex>\mathbb{R}^1 \times \mathbb{R}^1</latex>;
  * Прямое произведение двух окружностей --- это тор: <latex>S^1 \times S^1</latex>.

__Определение 1'.__ Декартовым, или прямым произведением множеств <latex>X_1,X_2, \ldots,X_n</latex> называется множество упорядоченных пар <WRAP centeralign><latex>X_1\times\ldots\times X_n=\{(a_1,\ldots,a_n)|a_i\in X_i\}</latex>.</WRAP>
===== Проекции =====
__Определение 2.__ Пусть <latex>X_1\times\ldots\times X_n</latex> --- прямое произведение множеств <latex>X_1,X_2, \ldots,X_n</latex>. [[:glossary:mapping|Отображение]] <WRAP centeralign><latex>\pi_i\colon X_1\times\ldots\times X_n\rightarrow X_i\colon(a_1,\ldots,a_n)\mapsto a_i</latex></WRAP> называется **проекцией**((projection map)) на <latex>i</latex>-й сомножитель.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/94505/?partner=lds1938|Верещагин Н.К., Шень А. «Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Начала теории множеств», МЦНМО, 2008.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"теория множеств" "декартово произведение" "множество" "прямое произведение"}}