====== Определитель и след линейного оператора ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====

Пусть <latex>\varphi:V\rightarrow V</latex> --- [[:glossary:morphism:space:linear|линейный оператор]] с [[:glossary:matrix:map:linear|матрицей]] <latex>A_{\varphi}</latex> в некотором фиксированном [[:glossary:space:linear:basis|базисе]] <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> [[:glossary:space:linear|векторного пространства]] <latex> V </latex> над [[:glossary:field|полем]] <latex> F </latex>.

__Определение 1.__ **Определителем**((determinant of linear operator)) <latex>\textrm{det}~\varphi</latex> линейного оператора <latex>\varphi</latex> называется [[:glossary:matrix:determinant|определитель матрицы]] <latex>A_{\varphi}</latex>.

__Определение 2.__ **Следом**((trace of linear operator)) <latex>\textrm{tr}~\varphi</latex> линейного оператора <latex>\varphi</latex> называется [[:glossary:matrix|след матрицы]] <latex>A_{\varphi}</latex>.

__Предложение 1.__ Пусть <latex>\chi_{\varphi}(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots+a_1t+a_0</latex> --- [[:glossary:polynomial:characteristic#характеристический_многочлен|характеристический многочлен]] оператора <latex>\varphi</latex>. Тогда
  - <latex>\textrm{tr}~\varphi=-a_{n-1}</latex>,
  - <latex>\textrm{det}~\varphi=(-1)^na_0</latex>.

__Следствие 1.__ Определитель и след линейного оператора <latex>\varphi</latex> не зависят от выбора базиса пространства <latex> V </latex>.

__Пример 1.__ Определитель и след [[:glossary:morphism:space:linear|нулевого линейного оператора]] равны нулю.

__Пример 2.__ Определитель тождественного линейного оператора на <latex> n </latex>-мерном векторном пространстве <latex> V </latex> равен <latex>\textrm{det}~\textrm{id}_V=1</latex>, а его след равен <latex>\textrm{tr}~\textrm{id}_V=n</latex>.

__Предложение 2.__ Отображение <latex>\textrm{tr}\colon\textrm{End}~V\rightarrow F</latex>, которое каждому эндоморфизму <latex>\varphi\in\textrm{End}~V</latex> ставит в соответствие его след <latex>\textrm{tr}\varphi</latex>, линейно.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "линейный оператор" "матрица линейного оператора" "определитель линейного оператора" "след линейного оператора"}}