====== Бинарная алгебраическая операция ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Бинарная операция =====
__Определение 1.__ **Бинарная операция**((binary operation)) на непустом [[:glossary:set|множестве]] <latex>X</latex> --- это [[:glossary:mapping|отображение]] <latex>\mu:X\times X\rightarrow X</latex> из [[:glossary:product:direct|прямого произведения]] <latex>X\times X</latex> в <latex>X</latex>.

Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи <latex>\mu(x,y)</latex> используют запись <latex>x\mu y</latex>. Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы <latex>+</latex>, <latex>\ast</latex>, <latex>\circ,\,\cdot</latex> и так далее.

На множестве <latex>X</latex> может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть, какая именно операция имеется ввиду, используют скобки, например, <latex>(X,\ast)</latex>.

__Пример 1.__ Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: [[:glossary:group|группах]], [[:glossary:ring|кольцах]], [[:glossary:field|полях]] --- являются бинарными алгебраическими операциями.

__Пример 2.__ Пусть <latex>\mathcal{P}(U)</latex> --- множество всех подмножеств множества <latex>U</latex>. Операции [[:glossary:set:algebra#операции_над_множествами|пересечения]] <latex>\cap</latex> и [[:glossary:set:algebra#операции_над_множествами|объединения]] <latex>\cup</latex> --- это бинарные алгебраические операции на множестве <latex>\mathcal{P}(U)</latex>.

__Пример 3.__ Операция, ставящая в соответствие двум [[:glossary:set:integer:positive|натуральным числам]] <latex>n</latex> и <latex>m</latex> их [[:glossary:arithmetic:theorem:fundamental#наибольший_общий_делитель_и_наименьшее_общее_кратное|наибольший общий делитель]] НОД<latex>(n,m)</latex>, является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.
===== Виды бинарных операций =====
__Определение 2.__ Бинарная алгебраическая операция <latex>\ast</latex> на множестве <latex>X</latex> называется **коммутативной**((commutative)), если <latex>x\ast y=y\ast x</latex> для всех <latex>x,y\in X</latex>.

__Определение 3.__ Бинарная алгебраическая операция <latex>\ast</latex> на множестве <latex>X</latex> называется **ассоциативной**((associative)), если <latex>(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)</latex> для всех <latex>x,y,z\in X</latex>.

__Пример 4.__ Операция сложения <latex>+</latex> на множестве целых чисел <latex>\mathbb{Z}</latex> является коммутативной и ассоциативной.

__Пример 5.__ Операция [[:glossary:mapping:composite|композиции отображений]] на множестве <latex>X</latex> ассоциативна, но не коммутативна.

__Пример 6.__ Операция умножения <latex>[,]</latex> в [[:glossary:ring:lie|кольце Ли]] не является ни коммутативной, ни ассоциативной.
===== Группоид =====
__Определение 4.__ Множество <latex>X</latex> с заданной на нем бинарной алгебраической операцией, называется **группоидом**((groupoid)).

Если операция в группоиде обозначается символом <latex>+</latex>, то ее называют **сложением**((addition)) и говорят, что группоид записан **аддитивно**((additively)). Если операция в группоиде обозначается символом <latex>\cdot</latex>, то ее называют **умножением**((multiplication)) и говорят, что группоид записан **мультипликативно**((multiplicative)).
===== См. также =====
  * [[:glossary:semigroup|Полугруппа]]
  * [[:glossary:monoid|Моноид]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * Куликов Л.Я. <<Алгебра и теория чисел>>, Высшая школа, 1979.
  * Курош А.Г. <<Общая алгебра>>, Наука, 1974.

{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативность" "бинарная операция" "группоид" "коммутативность" "множество" "отображение" "прямое произведение" "сложение" "умножение"}}