====== Линейное отображение векторных пространств ====== проверено. неплохо было бы написать про логарифмы ===== Определение ===== __Определение 1.__ Пусть V_1,V_2 --- [[:glossary:space:linear|векторные пространства]] над [[:glossary:field|полем]] F . [[:glossary:mapping|Отображение]] \varphi:V_1\rightarrow V_2 называется **линейным**((linear mapping)), если - \varphi(v_1+v_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2) для всех v_1,v_2\in V_1; - a\varphi(v)=\varphi(av) для всех v\in V_1, a\in F. __Пример 1.__ Нулевое линейное отображение \varphi:V_1\rightarrow V_2, заданное правилом \varphi(v)=0 для всех v\in V_1. __Пример 2.__ Тождественное линейное отображение \textrm{id}_V:V\rightarrow V задается формулой \textrm{id}_V(v)=v для всех v\in V. __Пример 3.__ Отображение \ln\colon\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}^1\colon a\mapsto \ln(a) векторного пространства \mathbb{R}_+ из [[:glossary:space:linear|примера 4]] в одномерное вещественное пространство \mathbb{R}^1, является линейным отображением векторных пространств. __Определение 2.__ Линейное отображение \varphi:V_1\rightarrow V_2 называется **изоморфизмом векторных пространств**((isomorphism of vector spaces)), если \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|биективно]]. __Предложение 1.__ Два [[:glossary:space:linear:basis|конечномерных]] векторных пространства V_1 и V_2 над полем F изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые [[:glossary:space:linear|размерности]]. ===== Частные случаи ===== __Определение 3.__ Линейное отображение \varphi:V\rightarrow V называется **линейным оператором**((linear operator)) на V . __Замечание 1.__ В категорном смысле линейный оператор --- это [[:glossary:category|эндоморфизм]] векторного пространства V . Соответственно, множество всех линейных операторов на V обозначается символом \textrm{End}(V). __Пример 4.__ Линейный оператор \varphi:V\rightarrow V, определенный правилом: \varphi(v)=a v для всех v\in V и некоторого фиксированного a\in F. Такой оператор называется **гомотетией**((homothety)). __Определение 4.__ Линейное отображение \varphi\colon V\rightarrow F(( F является векторным пространством, [[:glossary:space:linear:basis|см.пример 3]])) называется **линейной функцией**((linear function)), или **линейным функционалом**((linear functional)), или **линейной формой**((linear form)) на пространстве V . ===== Свойства линейного отображения ===== __Определение 5.__ **Ядром**((kernel)) линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 называется множество \ker\varphi=\{v\in V_1\vert\varphi(v)=0\}. __Определение 6.__ **Образом**((image)) линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 называется множество \textrm{im}~\varphi=\{v\in V_2\vert\exists u\in V_1:\varphi(u)=v\}. __Замечание 2.__ Как следует из определений, \ker\varphi\subseteq V_1, \textrm{im}~\varphi\subseteq V_2, то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств. __Предложение 2.__ Ядро и образ линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 являются [[:glossary:space:linear#подпространство_векторного_пространства|подпространствами]] векторных пространств V_1 и V_2, соответственно. __Предложение 3.__ Пусть V_1 --- конечномерное векторное пространство, и \varphi:V_1\rightarrow V_2 --- линейное отображение. Тогда \textrm{ker}\varphi и \textrm{im}\varphi конечномерны и \textrm{dim ker}\varphi+\textrm{dim im}\varphi=\textrm{dim}V_1. __Предложение 4.__ Пусть V_1 --- конечномерное векторное пространство. Линейное отображение \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|инъективно]] тогда и только тогда, когда \textrm{ker}\varphi = 0. __Следствие 1.__ Пусть V_1 --- конечномерное векторное пространство. Линейное отображение \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|сюръективно]] тогда и только тогда, когда \textrm{dim}V_2=\textrm{dim im}\varphi. __Предложение 5.__ Множество всех линейных отображений из векторного пространства V_1 в векторное пространство V_2 является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами: - для двух линейных отображений \varphi_1 и \varphi_2 пространства V_1 в пространство V_2 их сумма определена формулой: (\varphi_1+\varphi_2)(v)=\varphi_1(v)+\varphi_2(v) для всех v\in V_1; - для линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 умножение на скаляр \alpha определено формулой: (\alpha\varphi)(v)=\alpha(\varphi(v)) для всех v\in V_1. __Замечание 3.__ Векторное пространство линейных отображений из V_1 в V_2 обозначается через \textrm{Hom}_F(V_1,V_2). ===== См. также ===== * [[:glossary:category:space:linear|Категория векторных пространств]] * [[:glossary:matrix:map:linear|Матрица линейного отображения]] ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]] * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]] {{tag>"линейная алгебра" "вектор" "векторное пространство" "гомоморфизм векторных пространств" "гомотетия" "линейное отображение" "линейный оператор"}}