====== Линейное отображение векторных пространств ======
проверено. неплохо было бы написать про логарифмы
===== Определение =====
__Определение 1.__ Пусть V_1,V_2 --- [[:glossary:space:linear|векторные пространства]] над [[:glossary:field|полем]] F . [[:glossary:mapping|Отображение]] \varphi:V_1\rightarrow V_2 называется **линейным**((linear mapping)), если
- \varphi(v_1+v_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2) для всех v_1,v_2\in V_1;
- a\varphi(v)=\varphi(av) для всех v\in V_1, a\in F.
__Пример 1.__ Нулевое линейное отображение \varphi:V_1\rightarrow V_2, заданное правилом \varphi(v)=0 для всех v\in V_1.
__Пример 2.__ Тождественное линейное отображение \textrm{id}_V:V\rightarrow V задается формулой \textrm{id}_V(v)=v для всех v\in V.
__Пример 3.__ Отображение \ln\colon\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}^1\colon a\mapsto \ln(a) векторного пространства \mathbb{R}_+ из [[:glossary:space:linear|примера 4]] в одномерное вещественное пространство \mathbb{R}^1, является линейным отображением векторных пространств.
__Определение 2.__ Линейное отображение \varphi:V_1\rightarrow V_2 называется **изоморфизмом векторных пространств**((isomorphism of vector spaces)), если \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|биективно]].
__Предложение 1.__ Два [[:glossary:space:linear:basis|конечномерных]] векторных пространства V_1 и V_2 над полем F изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые [[:glossary:space:linear|размерности]].
===== Частные случаи =====
__Определение 3.__ Линейное отображение \varphi:V\rightarrow V называется **линейным оператором**((linear operator)) на V .
__Замечание 1.__ В категорном смысле линейный оператор --- это [[:glossary:category|эндоморфизм]] векторного пространства V . Соответственно, множество всех линейных операторов на V обозначается символом \textrm{End}(V).
__Пример 4.__ Линейный оператор \varphi:V\rightarrow V, определенный правилом: \varphi(v)=a v для всех v\in V и некоторого фиксированного a\in F. Такой оператор называется **гомотетией**((homothety)).
__Определение 4.__ Линейное отображение \varphi\colon V\rightarrow F(( F является векторным пространством, [[:glossary:space:linear:basis|см.пример 3]])) называется **линейной функцией**((linear function)), или **линейным функционалом**((linear functional)), или **линейной формой**((linear form)) на пространстве V .
===== Свойства линейного отображения =====
__Определение 5.__ **Ядром**((kernel)) линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 называется множество \ker\varphi=\{v\in V_1\vert\varphi(v)=0\}.
__Определение 6.__ **Образом**((image)) линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 называется множество \textrm{im}~\varphi=\{v\in V_2\vert\exists u\in V_1:\varphi(u)=v\}.
__Замечание 2.__ Как следует из определений, \ker\varphi\subseteq V_1, \textrm{im}~\varphi\subseteq V_2, то есть ядро и образ являются подмножествами векторных пространств.
__Предложение 2.__ Ядро и образ линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 являются [[:glossary:space:linear#подпространство_векторного_пространства|подпространствами]] векторных пространств V_1 и V_2, соответственно.
__Предложение 3.__ Пусть V_1 --- конечномерное векторное пространство, и \varphi:V_1\rightarrow V_2 --- линейное отображение. Тогда \textrm{ker}\varphi и \textrm{im}\varphi конечномерны и \textrm{dim ker}\varphi+\textrm{dim im}\varphi=\textrm{dim}V_1.
__Предложение 4.__ Пусть V_1 --- конечномерное векторное пространство. Линейное отображение \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|инъективно]] тогда и только тогда, когда \textrm{ker}\varphi = 0.
__Следствие 1.__ Пусть V_1 --- конечномерное векторное пространство. Линейное отображение \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|сюръективно]] тогда и только тогда, когда \textrm{dim}V_2=\textrm{dim im}\varphi.
__Предложение 5.__ Множество всех линейных отображений из векторного пространства V_1 в векторное пространство V_2 является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных правилами:
- для двух линейных отображений \varphi_1 и \varphi_2 пространства V_1 в пространство V_2 их сумма определена формулой: (\varphi_1+\varphi_2)(v)=\varphi_1(v)+\varphi_2(v) для всех v\in V_1;
- для линейного отображения \varphi\colon V_1\rightarrow V_2 умножение на скаляр \alpha определено формулой: (\alpha\varphi)(v)=\alpha(\varphi(v)) для всех v\in V_1.
__Замечание 3.__ Векторное пространство линейных отображений из V_1 в V_2 обозначается через \textrm{Hom}_F(V_1,V_2).
===== См. также =====
* [[:glossary:category:space:linear|Категория векторных пространств]]
* [[:glossary:matrix:map:linear|Матрица линейного отображения]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]
{{tag>"линейная алгебра" "вектор" "векторное пространство" "гомоморфизм векторных пространств" "гомотетия" "линейное отображение" "линейный оператор"}}