====== Гомоморфизм моноидов ======
===== Описание =====
__Определение 1.__ Пусть даны произвольные [[:glossary:monoid|моноиды]] <latex>(A,\cdot_A)</latex> и <latex>(B,\cdot_B)</latex>. [[:glossary:mapping|Отображение]] <latex>\varphi:A\rightarrow B</latex> называется **гомоморфизмом моноидов**((monoid homomorphism)), если:
  - <latex>\varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y)</latex> для <latex>\forall x,y\in A</latex>
  - <latex>\varphi(1_A)=1_B</latex>

__Определение 2.__ Множество <latex>\textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=1_B\}</latex> называется **ядром гомоморфизма**((kernel of homomorphism)) <latex>\varphi</latex>. Очевидно, что <latex>\textrm{ker}\varphi</latex> содержит <latex>1_A</latex> и является [[:glossary:monoid|подмоноидом]] в <latex>(A,\cdot_A)</latex>.

__Определение 3.__ Множество <latex>\textrm{Im}\varphi=\{b\in B\vert(\exists a\in A)\varphi(a)=b\}</latex> называется **образом гомоморфизма**((homomorphism image)) <latex>\varphi</latex>. <latex>\textrm{Im}\varphi</latex> является подмоноидом моноида <latex> B </latex>.

Гомоморфизм моноидов --- это [[:glossary:category|морфизм]] в [[:glossary:category:monoid|категории моноидов]].

__Пример 1.__ Пусть <latex> G </latex> --- мультипликативный моноид. Зафиксируем элемент <latex>x\in G</latex>. Если <latex>\mathbb{Z}_+</latex> --- аддитивный моноид целых неотрицательных чисел, то отображение <latex>f:\mathbb{Z}_+\rightarrow G</latex>, определяемое формулой <latex>f(n)=x^n</latex>, является гомоморфизмом моноидов.

__Пример 2.__ Рассмотрим моноиды <latex>(\mathbb{N}\cup\{0\},+)</latex> и <latex>(S(X),\ast)</latex> --- моноид из __примера 3__ статьи [[:glossary:monoid|Моноид]], где <latex> X </latex> --- [[:glossary:logic:alphabet|алфавит]] из одной буквы, <latex>X=\{a\}</latex>. Определим отображение <latex>\varphi\colon\mathbb{N}\cup\{0\}\rightarrow S(X)</latex>, которое элементу <latex> 1 </latex> ставит в соответствие <latex> a </latex>, а элементу <latex> 0 </latex> --- [[:glossary:logic:alphabet|пустое слово]] <latex>\Lambda</latex>. Тогда <latex>\varphi(n)=\underbrace{a\ldots a}_{n}</latex>, а значит, <latex>\varphi</latex> --- гомоморфизм моноидов.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "гомоморфизм" "моноид" "образ гомоморфизма" "ядро гомоморфизма"}}