====== Гомоморфизм модулей ======
===== Гомоморфизм левых модулей =====
Пусть даны произвольные [[:glossary:module#левый_модуль|левые модули]] A и B над [[:glossary:ring|ассоциативным кольцом]] R .
__Определение 1.__ [[:glossary:mapping|Отображение]] \varphi:A\rightarrow B называется **гомоморфизмом левых модулей**((left module homomorphism)), или R **-линейным отображением**((linear mapping)), если он является [[:glossary:morphism:group|гомоморфизмом]] [[:glossary:group#абелева_группа|абелевых групп]], перестановочным с действием кольца, то есть выполнены условия:
- \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2) для любых a_1,a_2\in A,
- \varphi(r\cdot a)=r\cdot\varphi(a) для любых r\in R и a\in A.
__Пример 1.__ Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.
__Пример 2.__ Для любых левых R -модулей M и N отображение \zeta:M\rightarrow N такое, что \zeta(x)=0 для \forall x\in M является гомоморфизмом, называемым нулевым.
__Предложение 1.__ Пусть \textrm{Hom}_R(A,B) --- множество всех гомоморфизмов левых модулей из A в B над [[:glossary:ring|коммутативным ассоциативным кольцом с единицей]] R . Тогда \textrm{Hom}_R(A,B) является левым R -модулем, причем структура модуля задана правилами:
- (\varphi_1+\varphi_2)(a)=\varphi_1(a)+\varphi_2(a) для \varphi_1,\varphi_2\in\textrm{Hom}_R(A,B) и a\in A,
- (r\cdot\varphi)(a)=r\cdot\varphi(a) для r\in R, a\in A и \varphi\in\textrm{Hom}_R(A,B).
===== Гомоморфизм правых модулей =====
Пусть даны произвольные [[:glossary:module#правый_модуль|правые модули]] A и B над ассоциативным кольцом R .
__Определение 1.__ [[:glossary:mapping|Отображение]] \varphi:A\rightarrow B называется **гомоморфизмом правых модулей**((right module homomorphism)), или R **-линейным отображением**((linear mapping)), если он является [[:glossary:morphism:group|гомоморфизмом]] [[:glossary:group#абелева_группа|абелевых групп]], перестановочных с действием кольца, то есть выполнены условия:
- \varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2) для любых a_1,a_2\in A,
- \varphi(a\cdot r)=\varphi(a)\cdot r для любых r\in R и a\in A.
__Пример 1.__ Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.
__Пример 2.__ Для любых правых R -модулей M и N отображение \zeta:M\rightarrow N такое, что \zeta(x)=0 для \forall x\in M является гомоморфизмом, называемым нулевым.
__Предложение 1.__ Пусть \textrm{Hom}_R(A,B) --- множество всех гомоморфизмов правых модулей из A в B над [[:glossary:ring|коммутативным ассоциативным кольцом с единицей]] R . Тогда \textrm{Hom}_R(A,B) является [[:glossary:module#левый_модуль|левым]] R -модулем, причем структура модуля задана правилами:
- (\varphi_1+\varphi_2)(a)=\varphi_1(a)+\varphi_2(a) для \varphi_1,\varphi_2\in\textrm{Hom}_R(A,B) и a\in A,
- (r\cdot\varphi)(a)=\varphi(a)\cdot r для r\in R, a\in A и \varphi\in\textrm{Hom}_R(A,B).
===== Ядро и образ =====
Пусть \varphi:A\rightarrow B --- гомоморфизм (левых или правых) R -модулей.
__Определение 2.__ **Ядром гомоморфизма**((kernel of homomorphism)) \varphi называется множество \textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=0\}\subset A.
__Определение 3.__ **Образом гомоморфизма**((image of homomorphism)) \varphi называется множество \textrm{im}\varphi=\{b\in B\vert\exists a\in A:\varphi(a)=b\}\subset B.
__Предложение 2.__ Множество \textrm{ker}\varphi является подмодулем в A .
__Предложение 3.__ Множество \textrm{im}\varphi является подмодулем в B .
__Определение 4.__ Гомоморфизм \varphi называется **мономорфизмом (левых или правых) модулей**((monomorphism of left modules)), если \textrm{ker}\varphi=0.
__Определение 5.__ Гомоморфизм \varphi называется **эпиморфизмом (левых или правых) модулей**((epimorphism of left modules)), если \textrm{im}\varphi=B.
__Определение 6.__ Гомоморфизм \varphi называется **изоморфизмом (левых или правых) модулей**((isomorphism of left modules)), если он одновременно эпи- и мономорфизм.
===== Теоремы о гомоморфизмах =====
__**Основная теорема о гомоморфизме**.__ Пусть \varphi\colon A\rightarrow B --- гомоморфизм левых R-модулей с ядром \textrm{ker}~\varphi=C. Через \pi\colon A\rightarrow A/C обозначим каноническую проекцию. Тогда существует единственный гомоморфизм левых R-модулей \varphi_*\colon A/C\rightarrow B, инъективный и такой, что \varphi=\varphi_*\circ\pi, то есть делающий коммутативной диаграмму \begin{diagram}\node{A}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{B}\\\node[2]{A/C}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}. Если \varphi сюръективно, то \varphi_* --- изоморфизм.
__**Первая теорема об изоморфизме**.__ Пусть B и C --- подмодули в A. Тогда отображение \varphi\colon b+C\mapsto b+B\cap C является изоморфизмом фактормодулей (B+C)/C\cong B/(B\cap C).
__**Теорема о соответствии**.__ Пусть \varphi\colon A\rightarrow B --- эпиморфизм левых R-модулей с ядром \textrm{ker}~\varphi=C. Тогда существует биекция между множеством подмодулей в A, содержащих C, и множеством всех подмодулей в B.
__**Теорема о сокращении**.__ Пусть B и C --- подмодули в A, причем C\subset B. Тогда фактормодуль B/C является подмодулем в A/C и имеет место изоморфизм: (A/C)/(B/C)\cong A/B.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3249529/?partner=lds1938|Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
* Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.
{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "гомоморфизм групп" "гомоморфизм левых модулей" "гомоморфизм модулей" "левый модуль" "линейное отображение" "ядро гомоморфизма"}}