====== Гомоморфизм групп ======
===== Определение гомоморфизма =====
Пусть даны произвольные [[:glossary:group|группы]] (G,\cdot_G) и (H,\cdot_H) с единицами e_G и e_H соответственно.
__Определение 1.__ [[:glossary:mapping|Отображение]] \varphi:G\rightarrow H называется **гомоморфизмом групп**((group homomorphism)), если:
- \varphi(x\cdot_Gy)=\varphi(x)\cdot_H\varphi(y) для \forall x,y\in G
__Пример 1.__ Пусть G --- группа. Отображение G\rightarrow G\colon x\mapsto x называется тождественным и обозначается символом \textrm{id}_G. Очевидно, что \textrm{id}_G является автоморфизмом группы G.
__Пример 2.__ Рассмотрим группу G, записываемую мультипликативно, и n\in\mathbb{N}. Отображение \varphi\colon G\rightarrow G:x\mapsto \underbrace{x\cdot\ldots\cdot x}_n=x^n, является гомоморфизмом групп и называется **возведением в** n**-ю степень**.
__Определение 2.__ Гомоморфизм групп \varphi:G\rightarrow H называется **мономорфизмом групп**((monomorphism)), если отображение \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|инъективно]].
__Определение 3.__ Гомоморфизм групп \varphi:G\rightarrow H называется **эпиморфизмом групп**((epimorphism)), если отображение \varphi [[:glossary:mapping#виды_отображений|сюръективно]].
__Пример 3.__ Пусть N --- [[:glossary:group#Подгруппа|нормальная подгруппа]] группы G. Тогда отображение \pi\colon G\rightarrow G/N группы G на [[:glossary:group:factor#определение_факторгруппы|факторгруппу]] G/N такое, что \pi(x)=xN, является эпиморфизмом групп и называется канонической проекцией.
__Определение 4.__ Гомоморфизм групп \varphi:G\rightarrow H называется **изоморфизмом групп**((isomorphism)), если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.
__Определение 5.__ **Ядро гомоморфизма**((kernel of homomorphism)) \varphi:G\rightarrow H --- это множество \textrm{ker}\varphi=\{x\in G\vert\varphi(x)=e_H\}.
__Определение 6.__ **Образ гомоморфизма**((image of homomorphism)) \varphi:G\rightarrow H --- это множество \textrm{im}\varphi=\{y\in H\vert\exists x\in G:\varphi(x)=y\}.
Гомоморфизм групп является [[:glossary:category|морфизмом]] в [[:glossary:category:group|категории групп]]. В частности, понятия мономорфизма, эпиморфизма и изоморфизма можно переформулировать:
__Предложение 1.__ Гомоморфизм \varphi:G\rightarrow H является мономорфизмом тогда и только тогда, когда \textrm{ker}\varphi=\{0\}.
__Предложение 2.__ Гомоморфизм \varphi:G\rightarrow H является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда \textrm{im}\varphi=H.
__Предложение 3.__ Гомоморфизм \varphi:G\rightarrow H является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм \varphi^{-1}:H\rightarrow G такой, что \varphi^{-1}\circ\varphi=\textrm{id}_G и \varphi\circ\varphi^{-1}=\textrm{id}_H.
__Определение 7.__ **Автоморфизмом группы**((automorphism)) G называется изоморфизм \varphi:G\rightarrow G.
===== Свойства гомоморфизма групп =====
__Предложение 4.__ Пусть \varphi:G\rightarrow H --- гомоморфизм групп. Тогда
* \varphi(e_G)=e_H
* \varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1} для всех x\in G
__Предложение 5.__ Ядро \textrm{ker}\varphi гомоморфизма групп \varphi:G\rightarrow H является нормальной подгруппой группы G .
__Предложение 6.__ Образ \textrm{im}\varphi гомоморфизма групп \varphi:G\rightarrow H является [[:glossary:group#Подгруппа|подгруппой]] группы H .
===== Теоремы о гомоморфизмах =====
__**Основная теорема о гомоморфизме**.__ Пусть \varphi\colon G\rightarrow H --- гомоморфизм групп с ядром \textrm{ker}~\varphi=N. Через \pi\colon G\rightarrow G/N обозначим каноническую проекцию((см. пример 3)). Тогда существует единственный гомоморфизм групп \varphi_*\colon G/N\rightarrow H, инъективный и такой, что \varphi=\varphi_*\circ\pi, то есть делающий коммутативной диаграмму \begin{diagram}\node{G}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{H}\\\node[2]{G/N}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}. Если \varphi сюръективно, то \varphi_* --- изоморфизм. Гомоморфизм \varphi_* [[:glossary:group:factor#смежные_классы|левому смежному классу]] gN ставит в соответствие \varphi(g).
__**Первая теорема об изоморфизме**.__ Пусть H и K --- подгруппы в G, и H нормальна в G. Тогда
- KH=KH --- подгруппа в G, содержащая H, причем H нормальна в KH;
- подгруппа K\cap H нормальна в K;
- отображение \varphi\colon kH\mapsto k(K\cap H) является изоморфизмом групп (KH)/H\cong K/(K\cap H).
__**Теорема о соответствии**.__ Пусть \varphi\colon G\rightarrow H --- эпиморфизм групп с ядром \textrm{ker}~\varphi=N. Тогда существует биекция между множеством подгрупп в G, содержащих N, и множеством всех подгрупп в H. При этом нормальным делителям группы G соответствуют нормальные делители группы H.
__**Теорема о сокращении**.__ Пусть H и K --- [[:glossary:group#подгруппа|нормальные подгруппы]] в группе G , причем K\subset H. Тогда факторгруппа H/K является нормальной подгруппой в G/K и имеет место изоморфизм: (G/K)/(H/K)\cong G/H.
__Пример 4.__ Идеалы 2\mathbb{Z} и 4\mathbb{Z} нормальны в \mathbb{Z}, откуда получаем: (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/(2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, или, что то же самое, \mathbb{Z}_4/\mathbb{Z}_2\cong\mathbb{Z}_2.
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1368540/?partner=lds1938|Богопольский О.В. «Введение в теорию групп», Институт компьютерных исследований, 2002.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/1255737/?partner=lds1938|Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/17563348/?partner=lds1938|Курош А.Г. «Курс высшей алгебры», Лань, 2008.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"абстрактная алгебра" "гомоморфизм групп" "группа" "изоморфизм групп" "мономорфизм групп" "эпиморфизм групп"}}