====== Моноид ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определения =====
__Определение 1.__ Пара <latex>(X,\ast)</latex>, сосотящая из [[:glossary:set|множества]] <latex>X</latex> и [[:glossary:operation:binary:algebraic|бинарной алгебраической операции]] <latex>\ast</latex> называется **моноидом**((monoid)), если выполнены условия:
  - Операция <latex>\ast</latex> [[:glossary:operation:binary:algebraic|ассоциативна]], то есть <latex>(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)</latex> для всех <latex>x,y,z\in X</latex>
  - Существует [[:glossary:element:groupoid:identity|(нейтральный) элемент]] <latex>e\in X</latex> такой, что <latex>e\ast x=x\ast e=x</latex> для всех <latex>x\in X</latex>.

Таким образом, моноид --- это [[:glossary:semigroup|полугруппа]], обладающая нейтральным элементом.

__Определение 2.__ Моноид <latex>X</latex> с операцией <latex>\ast</latex> называется коммутативным, если <latex>\ast</latex> --- [[:glossary:operation:binary:algebraic#виды_бинарных_операций|коммутативна]], то есть <latex>x\ast y=y\ast x</latex> для любых <latex>x,y\in X</latex>.

__Пример 1.__ [[:glossary:set:integer|Множество целых чисел]] <latex>\mathbb{Z}</latex> с операцией сложения <latex>+</latex> является коммутативным моноидом.

__Пример 2.__ [[:glossary:set:integer:positive|Множество натуральных чисел]] <latex>\mathbb{N}</latex> с операцией умножения <latex>\cdot</latex> является коммутативным моноидом.

__Пример 3.__ Пусть <latex>X</latex> --- некоторый [[:glossary:logic:alphabet|алфавит]]. На множестве всех [[:glossary:logic:alphabet|слов]] <latex>S(X)</latex> алфавита <latex>X</latex> введем операцию "приписывания" одного слова в конец другого: если <latex>s_1\in S(X)</latex> и <latex>s_2\in S(X)</latex>, то <latex>s=s_1\ast s_2\in S(X)</latex>. Тогда [[:glossary:logic:alphabet|пустое слово]] <latex>\Lambda</latex> является нейтральным элементом. Ясно, что операция "приписывания" ассоциативна, поэтому пара <latex>(S(X),\ast)</latex> --- моноид.

__Пример 4.__ Множество <latex>\textrm{Mat}_n(\mathbb{Z})</latex> [[:glossary:matrix|матриц]] порядка <latex>n</latex> над [[:glossary:ring|кольцом]] <latex>\mathbb{Z}</latex> с операцией [[:glossary:matrix#умножение_матриц|умножения матриц]] является некоммутативным моноидом. Нейтральным элементом в этом случае является [[:glossary:matrix|единичная матрица]] <latex>E</latex>.

__Пример 5.__ Пусть <latex>X</latex> --- произвольное множество. Обозначим через <latex>\textrm{Hom}(X,X)</latex> множество всех [[:glossary:mapping|отображений]] из <latex>X</latex> в <latex>X</latex>. Так как [[:glossary:mapping:composite|композиция отображений]] ассоциативна, и в <latex>\textrm{Hom}(X,X)</latex> содержится нейтральный элемент <latex>\textrm{id}_X</latex> --- [[:glossary:mapping#виды_отображений|тождественное отображение]], то <latex>\textrm{Hom}(X,X)</latex> --- моноид.

__Определение 3.__ Пусть <latex>Y</latex> --- подмножество в <latex>X</latex>, <latex>Y\subset X</latex>. Будем говорить, что <latex>(Y,\ast)</latex> является **подмоноидом**((submonoid)) моноида <latex>(X,\ast)</latex>, если <latex>Y</latex> содержит нейтральный элемент <latex>e</latex> и [[:glossary:semigroup|замкнуто относительно операции]] <latex>\ast</latex>, то есть <latex>x\ast y\in Y</latex> для любых <latex>x,y\in Y</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:morphism:monoid|Гомоморфизм моноидов]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]

{{tag>"абстрактная алгебра" "бинарная алгебраическая операция" "гомоморфизм моноидов" "моноид" "подмоноид" "полугруппа"}}