====== Индуктивный предел модулей ====== ===== Описание ===== __Определение 1.__ Пусть \mathcal{I} --- [[:glossary:set:ordered:partially|частично упорядоченное множество]]. Множество \mathcal{I} называется **направленным**((directed set)), если для любой пары элементов i,j\in\mathcal{I} существует такой элемент k\in\mathcal{I}, что i\leqslant k и j\leqslant k. __Пример 1.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство, P --- некоторая точка из X. Совокупность открытых окрестностей U точки P является направленным множеством с [[:glossary:relation:order#отношение_частичного_порядка|отношением частичного порядка]] \subseteq,((см. [[:glossary:set:ordered:partially|пример 1]])) так как для любых окрестностей U и V найдется окрестность W такая, что P\in W\subseteq U\cap V. __Определение 2.__ Пусть A --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]] и \{M_i\}_{i\in\mathcal{I}} --- семейство [[:glossary:module#левый_модуль|(левых)]] A[[:glossary:module#левый_модуль|-модулей]], перенумерованное направленным множеством \mathcal{I}. Пусть, кроме того, для всякой пары i,j\in\mathcal{I} такой, что i\leqslant j задан [[:glossary:morphism:module|гомоморфизм]] A-модулей \mu_{ij}:M_i\rightarrow M_j, удовлетворяющий следующим условиям: - \mu_{ii}=\textrm{id}_{M_i} для всех i\in\mathcal{I}; - \mu_{ik}=\mu_{jk}\circ\mu_{ij} для всех i,j,k\in\mathcal{I} таких, что i\leqslant j\leqslant k. Тогда говорят, что модули M_i и гомоморфизмы \mu_{ij} образуют **индуктивную систему**((inductive system)) \mathcal{M}=(M_i,\mu_{ij}) с множеством индексов \mathcal{I}. __Определение 3.__ Пусть \mathcal{M}=(M_i,\mu_{ij}) --- индуктивная система с множеством индексов \mathcal{I}. Пусть, кроме того, C=\underset{i\in\mathcal{I}}{\oplus}M_i и D=\langle x_i-\mu_{ij}(x_i)\vert i\leqslant j,x_i\in M_i\rangle_A --- подмодуль C . Положим M=C/D и рассмотрим отображения \mu_i:M_i\rightarrow C/D --- ограничения \mu:C\rightarrow C/D на M_i. Тогда пара (M,\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}}), состоящая из A -модуля M и семейства гомоморфизмов \{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}}, называется **индуктивным**((inductive limit)), или **прямым пределом**((direct limit)) системы \mathcal{M} и обозначается \underrightarrow{\textrm{lim}}~M_i. Из конструкции ясно, что \mu_i=\mu_j\circ\mu_{ij} при всех i\leqslant j. __Предложение 1.__ Индуктивный предел (M,\{\mu_i\}_{i\in\mathcal{I}}) обладает универсальным свойством:\\ для любого A-модуля N и семейства гомоморфизмов A-модулей \varphi_i\colon M_i\rightarrow N, i\in\mathcal{I}, удовлетворяющих условию \varphi_i=\varphi_j\circ\mu_{ij} при всех i\leqslant j, существует единственный гоморфизм A-модулей \varphi\colon M\rightarrow N, делающий коммутативными диаграммы \begin{diagram}\node{M_i}\arrow[2]{e,t}{\mu_i}\arrow{se,b}{\varphi_i}\node[2]{M}\arrow{sw,b}{\varphi}\\\node[2]{N}\end{diagram} при каждом i\in\mathcal{I}. __Пример 2.__ Пусть (X,\tau) --- топологическое пространство, \mathcal{F} --- [[:glossary:topology:presheaf|предпучок]] [[:glossary:group#абелева_группа|абелевых групп]]((то есть модулей над \mathbb{Z})), P --- некоторая точка из X. Тогда группы \mathcal{F}(U) вместе с [[:glossary:topology:presheaf|отображениями ограничения]] \rho_{UV}\colon\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{F}(V) образуют индуктивную систему. Индуктивный предел \varinjlim_{U\ni P}\mathcal{F}(U) обозначается через \mathcal{F}_P и называется [[:glossary:topology:presheaf|слоем]] предпучка в точке P.((См. [[:glossary:topology:presheaf|определение 2]].)) Элементы \mathcal{F}_P --- [[:glossary:topology:presheaf|ростки]] --- это [[:glossary:relation:equivalence|классы эквивалентности]] пар \langle U,s\rangle, где s\in\mathcal{F}(U). Пары \langle U,s\rangle и \langle V,t\rangle принадлежат одному классу, если существует окрестность W точки P, что \rho_{UW}(s)=\rho_{VW}(t). ===== См. также ===== * [[:glossary:module:limit:projective|Проективный предел]] ===== Литература ===== * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3249529/?partner=lds1938|Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.]] {{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо" "индуктивная система" "индуктивный предел" "левый модуль" "направленное множество"}}