====== Точная последовательность модулей ======
===== Определение =====
Пусть <latex>R</latex> --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо]] и <latex>M_1,\ldots,M_n</latex> --- [[:glossary:module|модули]]((левые, правые или бимодули)) над <latex>R</latex>.

__Определение 1.__ Последовательность <latex> R </latex>-модулей и [[:glossary:morphism:module|их гомоморфизмов]] <latex>M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{i-1}}{\rightarrow}M_{i}\stackrel{\varphi_{i}}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\rightarrow}M_n</latex> называется **точной в члене**((exact for)) <latex> i </latex>, если <latex>\textrm{ker}~\varphi_i=\textrm{im}~\varphi_{i-1}</latex>.

__Определение 2.__ Последовательность <latex> R </latex>-модулей и их гомоморфизмов <latex>M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}\ldots\stackrel{\varphi_{n-1}}{\rightarrow}M_n</latex> называется **точной**((exact sequence)), если она точна в каждом члене.

__Предложение 1.__ Последовательность вида <latex>0\rightarrow M_1\stackrel{\varphi}{\rightarrow}M_2</latex> точна тогда и только тогда, когда <latex>\varphi</latex> --- [[:glossary:morphism:module|мономорфизм модулей]].

__Предложение 2.__ Последовательность вида <latex>M_1\stackrel{\varphi}{\rightarrow}M_2\rightarrow 0</latex> точна тогда и только тогда, когда <latex>\varphi</latex> --- [[:glossary:morphism:module|эпиморфизм модулей]].

__Определение 3.__ Точная последовательность <latex> R </latex>-модулей <latex>0\rightarrow M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}M_3\rightarrow0</latex> называется **короткой точной последовательностью**((short exact sequence)). При этом модуль <latex>M_2</latex> называется **расширением**((extension of module)) <latex>M_3</latex> **при помощи** <latex>M_1</latex>.

__Определение 4.__ Короткая точная последовательность <latex> R </latex>-модулей <latex>0\rightarrow M_1\stackrel{\varphi_1}{\rightarrow}M_2\stackrel{\varphi_2}{\rightarrow}M_3\rightarrow0</latex> называется **расщепляемой**((splittable)), если <latex>\textrm{im}~\varphi_1</latex> выделяется прямым слагаемым в <latex>M_2</latex>.
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/3249529/?partner=lds1938|Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/4047047/?partner=lds1938|Бурбаки Н. «Гомологическая алгебра», Наука, 1987.]]
  * Картан А., Эйленберг С. <<Гомологическая алгебра>>, Иностранная литература, 1960.

{{tag>"абстрактная алгебра" "ассоциативное кольцо с единицей" "короткая точная последовательность" "модуль" "расширение модуля" "расщепляемая последовательность" "точная последовательность"}}