====== Свободный модуль ======
проверено. вообще букву K я здесь вижу впервые. в примере 3 обозначение суммы непривычное
===== Определение =====
Пусть M --- [[:glossary:module#левый_модуль|(левый) модуль]] над [[:glossary:ring|ассоциативным кольцом]] R и S --- [[:glossary:set|подмножество]] в M .
__Определение 1.__ Модуль M называется **конечно порожденным**((finitely spanned module)), или **модулем конечного типа**, если он имеет конечное число [[:glossary:dependent:linear|образующих]].
__Определение 2.__ Модуль, порожденный единственным элементом x , записывается в виде Rx((Иногда используется обозначение (x), чаще употребляемое для идеалов кольца.)) и называется **главным модулем**((principal module)).
__Определение 3.__ Множество S называется **базисом**((basis)) модуля M , если S не пусто, порождает M и [[:glossary:dependent:linear|линейно независимо]].
__Предложение 1.__ Если S --- базис модуля M , то каждый элемент x из M единственным образом образом представляется в виде линейной комбинации элементов из S .
__Определение 4.__ Под **свободным модулем**((free module)) понимается модуль, обладающий базисом, или же нулевой модуль.
__Определение 5.__ **Размерностью**((dimension)) \textrm{dim}_R(M) свободного модуля M над кольцом R называется [[:glossary:set:cardinal:number|мощность]] его базиса.
__Пример 1.__ Пусть R --- [[:glossary:ring|ассоциативное кольцо с единицей]], тогда R является конечно порожденным модулем над собой, а его базис состоит из одного элемента S=\{1\}. Таким образом, R --- главный модуль над собой.
__Пример 2.__ [[:glossary:ring:polynomial|Кольцо многочленов]] K[T] от одной переменной над [[:glossary:ring|коммутативным ассоциативным кольцом с единицей]] K порождено (как модуль над K ) бесконечным множеством S=\{T^n\vert n\in\mathbb{Z}_+\} [[:glossary:dependent:linear|линейно независимым]] над K .
__Пример3.__ Пусть I --- непустое множество, и для каждого i\in I пусть R_i=R, где R --- ассоциативное кольцо с единицей, и все R_i рассматриваются как R -модули. Положим P=\underset{i\in I}{\coprod}R_i. Модуль P обладает базисом, состоящим из элементов e_i в P , i -й компонентой которых является единичный элемент из R_i, а все другие компоненты равны нулю.
===== См. также =====
* [[:glossary:space:linear:basis|Базис и размерность векторного пространства]]
* [[:glossary:dependent:linear|Линейная зависимость]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2212571/?partner=lds1938|Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.]]
{{tag>"линейная алгебра" "ассоциативное кольцо" "базис модуля" "главный модуль" "конечнопорожденный модуль" "модуль" "размерность модуля" "свободный модуль"}}