====== Теорема Лапласа ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Минор =====
Пусть <latex> A </latex> --- [[:glossary:matrix|квадратная матрица порядка]] <latex> n </latex> с коэффициентами из [[:glossary:ring|кольца]] <latex> R </latex>, 
<latex>A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{pmatrix}</latex>.

__Определение 1.__ **Минором**((minor)) порядка <latex> k </latex> произвольной матрицы <latex> A </latex> называется [[:glossary:matrix:determinant|определитель]] ее подматрицы порядка <latex> k </latex>.

Таким образом, чтобы найти некоторый минор порядка <latex> k </latex>, мы должны выполнить следующие действия. Зафиксируем в матрице <latex> A </latex> любые <latex> k </latex> строк с номерами <latex>i_1,i_2,\ldots,i_k</latex> и <latex> k </latex> столбцов с номерами <latex>j_1,j_2,\ldots,j_k</latex>. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Ее определитель <latex>\begin{vmatrix}a_{i_1j_1} & a_{i_1j_2} & \ldots & a_{i_1j_k}\\ a_{i_2j_1} & a_{i_2j_2} & \ldots & a_{i_2j_k}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i_kj_1} & a_{i_kj_2} & \ldots & a_{i_kj_k}\end{vmatrix}</latex> --- это минор порядка <latex> k </latex>, который мы будем обозначать через <latex>M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex>.

__Пример 1.__ Рассмотрим матрицу порядка 3: <latex>\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\ 3 & 2 & -2\\ -3 & -4 & 4\end{pmatrix}</latex>. Выберем в ней 2-ю строчку и 3-й столбец. Тогда число, стоящее на пересечении этой строчки и этого столбца, <latex>M^2_3=a_{23}=-2</latex> --- минор порядка 1. Всего в этой матрице 9 миноров порядка 1.

__Пример 2.__ В матрице из __примера 3__ выберем 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 2-й столбец. Соответствующий минор <latex>M^{13}_{12}</latex> будет равен <latex>\begin{vmatrix}1 & -1\\-3 & -4\end{vmatrix}=-7</latex>.

__Определение 2.__ Пусть <latex>M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex> --- минор порядка <latex> k </latex> квадратной матрицы <latex> A </latex>, построенный на строках с номерами <latex>i_1,i_2,\ldots,i_k</latex> и столбцах с номерами <latex>j_1,j_2,\ldots,j_k</latex>. Вычеркнув из матрицы эти строки и столбцы, получим квадратную матрицу, определитель которой <latex>\overline{M}^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex> будем называть **дополнительным минором**((complement of minor)) к минору <latex>M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex>. Произвольный элемент <latex>a_{ij}</latex> матрицы <latex> A </latex> можно рассматривать как минор <latex>M^i_j</latex>. В этом случае <latex>\overline{M}^i_j</latex> называют дополнительным минором к элементу <latex>a_{ij}</latex>.

__Пример 3.__ Дополнительный минор к минору <latex>M^{13}_{12}</latex> из __примера 4__ равен <latex>\overline{M}^{13}_{12}=-2</latex>.

__Пример 4.__ Дополнительный минор к элементу <latex>a_{23}</latex> матрицы <latex> A </latex> из __примера 3__ равен <latex>\overline{M}^2_3=\begin{vmatrix}1 & -1\\-3 & -4\end{vmatrix}=-7</latex>.

===== Алгебраическое дополнение =====
__Определение 3.__ Пусть <latex>M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex> --- минор порядка <latex> k </latex> матрицы <latex> A </latex>, построенный на строках с номерами <latex>i_1,i_2,\ldots,i_k</latex> и столбцах с номерами <latex>j_1,j_2,\ldots,j_k</latex>. Величину <latex>A^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}=(-1)^{i_1+\ldots+i_k+j_1+\ldots+j_k}\overline{M}^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex> будем называть **алгебраическим дополнением**((algebraic complement)) минора <latex>M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex>.

__Пример 5.__ Алгебраическое дополнение минора <latex>M^{13}_{12}</latex> из __примера 4__ равно <latex>(-1)^{1+3+1+2}\overline{M}^{13}_{12}=2</latex>. Алгебраическое дополнение элемента <latex>a_{23}</latex> из __примера 3__ равно <latex>A^2_3=(-1)^{2+3}\overline{M}^2_3=7</latex>.
===== Теорема Лапласа =====
__Теорема 1.__ (**Теорема Лапласа**) Зафиксируем в квадратной матрице <latex> A </latex> произвольные <latex> k </latex> строк с номерами <latex>i_1,i_2,\ldots,i_k</latex>. Тогда определитель матрицы <latex> A </latex> равен сумме произведений всевозможных миноров, построенных на этих строках, на их алгебраическое дополнение. То есть <latex>\det A=\sum_{1\leqslant j_1<\ldots<j_k\leqslant n}M^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}A^{i_1\ldots i_k}_{j_1\ldots j_k}</latex>.

Если зафиксировать в матрице только одну строку с номером <latex> i </latex>, то, как частный случай из теоремы Лапласа, получим следующую формулу:\\
<latex>\det A = a_{i1}A^i_1+a_{i2}A^i_2+\ldots+a_{in}A^i_n</latex>.

__Пример 6.__ Вычислим определитель матрицы <latex> A </latex> из __примера 3__ с помощью разложения по первой строке:\\
<latex>\begin{vmatrix}1 & -1 & 0\\ 3 & 2 & -2\\ -3 & -4 & 4\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}2 & -2\\ -4 & 4\end{vmatrix}+(-1)\cdot(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}3 & -2\\ -3 & 4\end{vmatrix}+</latex><latex>0\cdot(-1)^{1+3}\cdot\begin{vmatrix}3 & 2\\ -3 & -4\end{vmatrix}=0+6+0=6</latex>.

__Пример 7.__ [[:solved:algebra:linear:determinant|См. задачу 3]].
===== См. также =====
  * [[:glossary:matrix|Матрица]]
  * [[:glossary:matrix:determinant|Определитель матрицы]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра», Наука, 1999.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/21839075/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.]]

{{tag>"линейная алгебра" "алгебраическое дополнение" "дополнительный минор" "матрица" "минор" "определитель" "теорема лапласа"}}