====== Матрица линейного отображения ======
<wrap hide>проверено</wrap>
===== Определение =====
__Определение 1.__ Пусть <latex>V_1</latex> и <latex>V_2</latex> --- [[:glossary:space:linear:basis|конечномерные]] [[:glossary:space:linear|векторные пространства]] над [[:glossary:field|полем]] <latex>F</latex> с [[:glossary:space:linear:basis|базисами]] <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> и <latex>\{f_1,\ldots,f_m\}</latex> соответственно. Рассмотрим [[:glossary:morphism:space:linear|линейное отображение]] <latex>\varphi\colon V_1\rightarrow V_2</latex>. Тогда <latex>\varphi(e_i)</latex> можно представить в виде <latex>\varphi(e_i)=\sum_{i=1}^ma_{ji}f_j</latex> для некоторых <latex>a_{ji}\in F</latex>. [[:glossary:matrix|Матрица]] <latex>A_{\varphi}=\begin{pmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\\ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}</latex> называется **матрицей линейного отображения**((matrix of linear mapping)) <latex>\varphi\colon V_1\rightarrow V_2</latex> в базисах <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> и <latex>\{f_1,\ldots,f_m\}</latex>. Столбцами этой матрицы являются координаты векторов <latex>\varphi(e_i)</latex> в базисе <latex>\{f_1,\ldots,f_m\}</latex>.

Пусть произвольный вектор <latex>v\in V_1</latex> имеет следующие координаты в разложении по базису <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex>, <latex>v=x_1e_1+\ldots+x_ne_n</latex>, тогда его образ <latex>\varphi(v)</latex> из пространства <latex>V_2</latex> в базисе <latex>\{f_1,\ldots,f_m\}</latex> имеет разложение <latex>\varphi(v)=y_1f_1+\ldots+y_mf_m</latex>, где <latex>y_i=\sum_{k=1}^na_{ik}x_k</latex>. То есть\\ <latex>\begin{pmatrix}y_1\\\ldots\\y_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\\ldots & \ldots & \ldots\\a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\\ldots\\x_n\end{pmatrix}</latex>.

__Предложение 1.__ Существует [[:glossary:mapping|взаимно однозначное отображение]] между множеством всех линейных отображений из <latex> n </latex>-мерного векторного пространства <latex>V_1</latex> в <latex> m </latex>-мерное векторное пространство <latex>V_2</latex> с фиксированными базисами и множеством матриц размера <latex>m\times n</latex>.

__Определение 2.__ **Матрица линейного оператора**((matrix of linear operator)) --- это матрица линейного отображения в случае, когда <latex>V_1=V_2</latex>.

__Пример 1.__ Пусть <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex> --- базис <latex> n </latex>-мерного векторного пространства <latex> V </latex>. Рассмотрим тождественный((См. пример 2 статьи [[:glossary:morphism:space:linear|Линейное отображение векторных пространств]])) линейный оператор <latex>\textrm{id}\colon V\rightarrow V</latex>. Так как <latex>\textrm{id}(e_i)=e_i</latex>, то матрица <latex>A_{\textrm{id}}</latex> --- это в точности [[:glossary:matrix#основные_определения|единичная матрица]]\\ <latex>A_{\textrm{id}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & \ldots & 0\\0 & 1 & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & 1\end{pmatrix}</latex>.

__Предложение 2.__ Пусть <latex>V_1,V_2,V_3</latex> --- конечномерные векторные пространства, <latex>\varphi:V_1\rightarrow V_2</latex> и <latex>\psi:V_2\rightarrow V_3</latex> --- линейные отображения. Тогда <latex>A_{\psi\circ\varphi}=A_{\psi}A_{\varphi}</latex>.

Умножением двух линейных операторов <latex>\varphi_1</latex> и <latex>\varphi_2</latex> на пространстве <latex> V </latex> будем считать их композицию: <latex>(\varphi_1,\varphi_2)\mapsto\varphi_1\circ\varphi_2</latex>. Тогда справедливо

__Предложение 3.__ Пространство линейных операторов <latex>\textrm{End}(V)</latex> является [[:glossary:operation:binary:algebraic#виды_бинарных_операций|ассоциативной]] [[:glossary:algebra|алгеброй]] над полем <latex> F </latex>. В случае, если пространство <latex> V </latex> конечномерно, алгебра <latex>\textrm{End}(V)</latex> [[:glossary:morphism:algebra|изоморфна]] алгебре всех матриц порядка <latex> n </latex> над полем <latex> F </latex>. Изоморфизм задается отображением <latex>\varphi\mapsto A_{\varphi}</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:morphism:space:linear|Линейное отображение векторных пространств]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "векторное пространство" "гомоморфизм векторных пространств" "линейное отображение" "линейный оператор" "матрица"}}