====== Жорданова нормальная форма ======
<wrap hide>проверено. сюда бы еще метод приведения добавить</wrap>
===== Жорданова матрица =====
Для произвольного [[:glossary:field|поля]] <latex> F </latex> определены [[:glossary:matrix|матрицы]] специального вида с элементами из <latex> F </latex>. Пусть <latex>\lambda\in F</latex>. 

__Определение 1.__ **Жордановой клеткой**((Jordan block)) <latex>J_r(\lambda)</latex> размера <latex>r\times r</latex> с собственным значением <latex>\lambda</latex> называется матрица вида <WRAP centeralign><latex>J_r(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0\\0 & \lambda & 1 & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda\end{pmatrix}.</latex></WRAP>

__Определение 2.__ **Жордановой матрицей**((Jordan matrix)) называется матрица, состоящая из диагональных блоков <latex>J_{r_i}(\lambda_i)</latex> и нулей вне этих блоков: <WRAP centeralign><latex>\begin{pmatrix}J_{r_1}(\lambda_1) & 0 & \ldots & 0\\0 & J_{r_2}(\lambda_2) & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & J_{r_k}(\lambda_k)\end{pmatrix}.</latex></WRAP>
===== Жорданова нормальная форма =====
Пусть <latex>\varphi\colon V\rightarrow V</latex> --- [[:glossary:morphism:space:linear|линейный оператор]] на [[:glossary:space:linear:basis|конечномерном]] [[:glossary:space:linear|векторном пространстве]] <latex> V </latex> над полем <latex> F </latex>. Зафиксировав в <latex> V </latex> некоторый [[:glossary:space:linear:basis|базис]] <latex>\{e_1,\ldots,e_n\}</latex>, можно однозначно определить [[:glossary:matrix:map:linear|матрицу]] <latex>A_{\varphi}</latex> этого линейного оператора.

__Определение 3.__ **Жордановым базисом** линейного оператора <latex>\varphi\colon V\rightarrow V</latex> называется такой базис пространства <latex> V </latex>, в которой матрица <latex>A_{\varphi}</latex> оператора <latex>\varphi</latex> является жордановой. Говорят также, что матрица в этом базисе имеет **жорданову нормальную форму**.

__Определение 4.__ **Приведением** квадратной матрицы <latex> A </latex> к **жордановой нормальной форме** называется решение матричного уравнения <latex>X^{-1}AX=J(A)</latex>, где <latex>J(A)</latex> --- некоторая жорданова матрица.

__Теорема 1.__ Каждая квадратная матрица <latex> A </latex> порядка <latex> n </latex> над [[:glossary:field:algebraically:closed|алгебраически замкнутым полем]] <latex> F </latex> приводится к жордановой нормальной форме, единственной с точностью до перестановки клеток.
===== Корневые подпространства =====
Пусть <latex>\lambda</latex> --- [[:glossary:polynomial:characteristic#собственные_вектора_и_собственные_значения|собственное значение]] линейного оператора <latex>\varphi</latex> на пространстве <latex> V </latex>.

__Определение 5.__ **Корневым подпространством**((root subspace)), соответствующим собственному значению <latex>\lambda</latex> называется множество векторов <WRAP centeralign><latex>V(\lambda)=\{v\in V|\exists k\in\mathbb{N}:(\varphi-\lambda\textrm{id})^kv=0\}</latex>.</WRAP>

__Предложение 1.__ Пусть <latex>\varphi</latex> --- линейный оператор на пространстве <latex> V </latex> с [[:glossary:polynomial:characteristic|характеристическим многочленом]] <latex>\chi_{\varphi}(t)=(t-\lambda_1)^{n_1}\cdot\ldots\cdot(t-\lambda_p)^{n_p},</latex> где <latex>\lambda_i\neq\lambda_j</latex> при <latex>i\neq j</latex>. Тогда <latex>V=V(\lambda_1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda_p)</latex> --- [[:glossary:space:linear:sum|прямая сумма]] корневых подпространств <latex>V(\lambda_i)</latex>, каждое из которых [[:glossary:polynomial:characteristic#инвариантные_подпространства|инвариантно]] относительно <latex>\varphi</latex> и имеет [[:glossary:space:linear:basis|размерность]] <latex>\dim V(\lambda_i)=n_i</latex>. Оператор <latex>\varphi-\lambda_i\textrm{id}</latex> нильпотентен на <latex>V(\lambda_i)</latex> и невырожден на подпространстве <latex>V(\lambda_1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda_{i-1})\oplus V(\lambda_{i+1})\oplus\ldots\oplus V(\lambda_p)</latex>. Кроме того, <latex>\lambda_i</latex> --- единственное собственное значение оператора <latex>\varphi_{|V(\lambda_i)}</latex>.
===== См. также =====
  * [[:glossary:polynomial:minimal|Минимальный многочлен линейного оператора]]
===== Литература =====
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
  * [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]

{{tag>"линейная алгебра" "жорданов базис" "жорданова клетка" "жорданова матрица" "жорданова нормальная форма" "корневое подпространство" "матрица жордана"}}