====== Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве ======
Пусть V --- [[:glossary:space:linear:basis|конечномерное]] [[:glossary:space:linear|векторное пространство]] над [[glossary:set:real|полем действительных чисел]] \mathbb{R}. Пусть q\colon V\rightarrow\mathbb{R} --- [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|квадратичная форма]] на V.
===== Закон инерции квадратичных форм =====
__Определение 1.__ Говорят, что квадратичная форма q в базисе \{e_1,\ldots,e_n\} имеет **нормальный вид**, если значение квадратичной формы на произвольном векторе v=v_1e_1+\ldots+v_ne_n вычисляется по формуле q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2.
__Предложение 1.__ В векторном пространстве V существует базис, в котором квадратичная форма q имеет нормальный вид.
По [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|предложению 2]] в V найдется базис \{e'_1,\ldots,e'_n\}, в котором квадратичная форма имеет [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|канонический вид]] q(v)=\lambda_1v_1^2+\ldots+\lambda_nv_n^2. Тогда, полагая e_i=\begin{cases}e'_i/\sqrt{|\lambda_i|}, & \lambda_i\neq0\\e'_i, & \lambda_i=0\end{cases}, получим, что q(e_i)=\begin{cases}q(e'_i/\sqrt{|\lambda_i|})=q(e'_i)/|\lambda_i|=\lambda_i/|\lambda_i|=\pm1, & \lambda_i\neq0\\q(e'_i)=0, & \lambda_i=0\end{cases}. Меняя, если это необходимо, индексы базисных векторов, мы добъемся нормального вида квадратичной формы.
__Предложение 2.__ Индексы r и s в нормальном виде квадратичной формы q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2 не зависят от способа приведения формы к нормальному виду.
__Определение 2.__ В нормальном виде квадратичной формы q(v)=v_1^2+\ldots+v_s^2-v_{s+1}^2-\ldots-v_r^2
- число s называется **положительным индексом инерции**;
- число r-s --- **отрицательным индексом инерции**;
- число r --- **индексом инерции**;
- пара (s,r-s) называется **сигнатурой** квадратичной формы.
===== Положительная определенность =====
__Определение 3.__ Квадратичная форма называется **невырожденной**, если ее [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|ранг]] равен [[:glossary:space:linear:basis|размерности]] \textrm{dim}_{\mathbb{R}}V.
__Определение 4.__ Квадратичная форма называется
- **положительно определенной**, если q(v)>0 для всех ненулевых v\in V;
- **отрицательно определенной**, если q(v)<0 для всех ненулевых v\in V;
- **положительно полуопределенной**, если q(v)\geqslant0 для всех v\in V;
- **отрицательно полуопределенной**, если q(v)\leqslant0 для всех v\in V;
- **неопределенной**, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
__Пример 1.__ Пусть q\colon V\rightarrow\mathbb{R} имеет в некотором [[::glossary:space:linear:basis|базисе]] \{e_1,\ldots,e_n\} нормальный вид q(v)=v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2, тогда q положительно определена.
===== См. также =====
* [[:glossary:mapping:form:quadratic|Квадратичная форма]]
* [[:glossary:mapping:form:quadratic:linear_space|Квадратичная форма на векторном пространстве]]
===== Литература =====
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/946527/?partner=lds1938|Ильин В.А., Позняк Я.Г. «Линейная алгебра», Физматлит, 2010.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/7631501/?partner=lds1938|Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Линейная алгебра», МЦНМО, 2012.]]
* [[http://www.ozon.ru/context/detail/id/2423932/?partner=lds1938|Кострикин А.И., Манин Ю.И. «Линейная алгебра и геометрия», Лань, 2008.]]
{{tag>"линейная алгебра" "билинейная форма" "канонический вид квадратичной формы" "квадратичная форма" "матрица квадратичной формы" "ранг квадратичной формы"}}